ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 378 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки А (1; -7) и В (-3; 5).
1. Уравнение прямой, проходящей через точки \(A(1; -7)\) и \(B(-3; 5)\):
Используем систему уравнений:
\(-7 = k \cdot 1 + b\)
\(5 = k \cdot (-3) + b\)
Вычтем первое уравнение из второго:
\(5 — (-7) = -3k — k\)
\(12 = -4k\)
\(k = \frac{12}{-4} = -3\)
Подставим \(k = -3\) в первое уравнение:
\(-7 = -3 \cdot 1 + b\)
\(-7 = -3 + b\)
\(b = -7 + 3 = -4\)
Уравнение прямой AB: \(y = -3x — 4\).
2. Середина отрезка AB:
Координаты середины \(M(x_m; y_m)\) находятся по формулам:
\(x_m = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
\(y_m = \frac{-7 + 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
Середина отрезка AB — точка \(M(-1; -1)\).
3. Уравнение серединного перпендикуляра:
Угловой коэффициент прямой AB равен \(k_{AB} = -3\).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой \(k_{\text{перп}}\) равен:
\(k_{\text{перп}} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}\)
Уравнение серединного перпендикуляра проходит через точку \(M(-1; -1)\) и имеет угловой коэффициент \(\frac{1}{3}\). Используем формулу \(y — y_m = k_{\text{перп}}(x — x_m)\):
\(y — (-1) = \frac{1}{3}(x — (-1))\)
\(y + 1 = \frac{1}{3}(x + 1)\)
\(y + 1 = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\)
Умножим все члены на 3, чтобы избавиться от дробей:
\(3(y + 1) = 3(\frac{1}{3}x + \frac{1}{3})\)
\(3y + 3 = x + 1\)
Перенесем все члены в одну сторону:
\(x — 3y + 1 — 3 = 0\)
\(x — 3y — 2 = 0\)
Или:
\(x — 3y = 2\)
Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки, является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Это связано с тем, что центр любой такой окружности должен быть равноудален от обеих точек, а множество всех точек, равноудаленных от двух заданных точек, формирует серединный перпендикуляр к отрезку, их соединяющему.
Первым шагом найдем уравнение прямой, которая проходит через заданные точки \(A(1; -7)\) и \(B(-3; 5)\). Для этого сначала вычислим угловой коэффициент \(k\) этой прямой, используя формулу \(k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}\). Подставляя координаты точек \(A\) и \(B\), получаем: \(k = \frac{5 — (-7)}{-3 — 1} = \frac{5 + 7}{-4} = \frac{12}{-4} = -3\). Теперь, зная угловой коэффициент \(k = -3\), мы можем найти свободный член \(b\) уравнения прямой \(y = kx + b\). Подставим координаты точки \(A(1; -7)\) в это уравнение: \(-7 = -3 \cdot 1 + b\). Отсюда следует, что \(-7 = -3 + b\), и, решая относительно \(b\), получаем \(b = -7 + 3 = -4\). Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки \(A\) и \(B\), имеет вид \(y = -3x — 4\).
Вторым шагом определим координаты середины отрезка \(AB\). Середина отрезка с концами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) находится по формулам \(x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}\) и \(y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}\). Для точек \(A(1; -7)\) и \(B(-3; 5)\) координаты середины \(M\) будут: \(x_m = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) и \(y_m = \frac{-7 + 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\). Следовательно, середина отрезка \(AB\) — это точка \(M(-1; -1)\).
Третьим и заключительным шагом найдем уравнение серединного перпендикуляра. Этот перпендикуляр проходит через точку \(M(-1; -1)\) и перпендикулярен прямой \(AB\). Если угловой коэффициент прямой \(AB\) равен \(k_{AB} = -3\), то угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой \(k_{\text{перп}}\) будет равен отрицательному обратному значению: \(k_{\text{перп}} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}\). Теперь, используя уравнение прямой в форме \(y — y_m = k_{\text{перп}}(x — x_m)\) с координатами точки \(M(-1; -1)\) и угловым коэффициентом \(k_{\text{перп}} = \frac{1}{3}\), получаем: \(y — (-1) = \frac{1}{3}(x — (-1))\). Это упрощается до \(y + 1 = \frac{1}{3}(x + 1)\). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3: \(3(y + 1) = 1(x + 1)\), что дает \(3y + 3 = x + 1\). Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид уравнения прямой: \(x — 3y + 1 — 3 = 0\), что приводит к окончательному уравнению \(x — 3y — 2 = 0\). Это уравнение также может быть записано как \(x — 3y = 2\).
