Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 379 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки С (2; 3) и D (-5; -2).
Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки \(C(2; 3)\) и \(D(-5; -2)\):
\(k_{CD} = \frac{-2 — 3}{-5 — 2} = \frac{-5}{-7} = \frac{5}{7}\).
Найдем координаты середины отрезка \(CD\):
\(x_m = \frac{2 + (-5)}{2} = \frac{-3}{2}\).
\(y_m = \frac{3 + (-2)}{2} = \frac{1}{2}\).
Середина отрезка: \(\left(-\frac{3}{2}; \frac{1}{2}\right)\).
Угловой коэффициент серединного перпендикуляра \(k_{перп}\) равен \(-\frac{1}{k_{CD}}\):
\(k_{перп} = -\frac{1}{\frac{5}{7}} = -\frac{7}{5}\).
Составим уравнение серединного перпендикуляра, проходящего через \(\left(-\frac{3}{2}; \frac{1}{2}\right)\) с угловым коэффициентом \(-\frac{7}{5}\):
\(y — \frac{1}{2} = -\frac{7}{5}\left(x — \left(-\frac{3}{2}\right)\right)\).
\(y — \frac{1}{2} = -\frac{7}{5}\left(x + \frac{3}{2}\right)\).
\(y — \frac{1}{2} = -\frac{7}{5}x — \frac{21}{10}\).
Умножим все члены уравнения на 10:
\(10y — 5 = -14x — 21\).
Перенесем все члены в левую часть:
\(14x + 10y — 5 + 21 = 0\).
\(14x + 10y + 16 = 0\).
Разделим все члены на 2:
\(7x + 5y + 8 = 0\).
Таким образом, уравнение:
\(7x + 5y = -8\).
Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки. Это объясняется тем, что центр любой такой окружности должен быть равноудален от обеих данных точек, а множество всех точек, равноудаленных от двух заданных точек, является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Для нахождения уравнения этого серединного перпендикуляра необходимо выполнить несколько шагов.
Первым шагом является определение координат середины отрезка, соединяющего точки \(C(2; 3)\) и \(D(-5; -2)\). Координаты середины отрезка \((x_m, y_m)\) вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат концов отрезка. Для абсциссы \(x_m\) это будет \((2 + (-5))/2 = (2 — 5)/2 = -3/2\). Для ординаты \(y_m\) это будет \((3 + (-2))/2 = (3 — 2)/2 = 1/2\). Таким образом, середина отрезка \(CD\) находится в точке с координатами \(\left(-\frac{3}{2}; \frac{1}{2}\right)\).
Вторым шагом необходимо найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки \(C(2; 3)\) и \(D(-5; -2)\). Угловой коэффициент \(k\) прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), определяется по формуле \(k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}\). Подставляя координаты точек \(C\) и \(D\), получаем \(k_{CD} = \frac{-2 — 3}{-5 — 2} = \frac{-5}{-7} = \frac{5}{7}\).
Третьим шагом является вычисление углового коэффициента серединного перпендикуляра. Поскольку серединный перпендикуляр перпендикулярен отрезку \(CD\), его угловой коэффициент \(k_{перп}\) будет отрицательным обратным к угловому коэффициенту отрезка \(CD\). То есть, \(k_{перп} = -\frac{1}{k_{CD}}\). Подставляя найденное значение \(k_{CD}\), получаем \(k_{перп} = -\frac{1}{\frac{5}{7}} = -\frac{7}{5}\).
Четвертым шагом мы составляем уравнение прямой, используя найденные координаты середины отрезка \(\left(-\frac{3}{2}; \frac{1}{2}\right)\) и угловой коэффициент серединного перпендикуляра \(-\frac{7}{5}\). Используем формулу уравнения прямой по точке и угловому коэффициенту: \(y — y_1 = k(x — x_1)\). Подставляем значения: \(y — \frac{1}{2} = -\frac{7}{5}\left(x — \left(-\frac{3}{2}\right)\right)\), что упрощается до \(y — \frac{1}{2} = -\frac{7}{5}\left(x + \frac{3}{2}\right)\).
Пятым и заключительным шагом является преобразование полученного уравнения к общему виду. Сначала раскрываем скобки: \(y — \frac{1}{2} = -\frac{7}{5}x — \frac{21}{10}\). Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 5, 10), которое равно 10: \(10\left(y — \frac{1}{2}\right) = 10\left(-\frac{7}{5}x — \frac{21}{10}\right)\). Это дает \(10y — 5 = -14x — 21\). Перенесем все члены в левую часть уравнения: \(14x + 10y — 5 + 21 = 0\), что упрощается до \(14x + 10y + 16 = 0\). Наконец, разделим все члены уравнения на 2 для упрощения: \(7x + 5y + 8 = 0\). Это уравнение также может быть записано как \(7x + 5y = -8\).
Таким образом, уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки \(C(2; 3)\) и \(D(-5; -2)\), есть \(7x + 5y = -8\).
