ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 38 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На гипотенузе \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\) отмечена точка \(M\) так, что \(AM : BM = 1 : 3\). Найдите отрезок \(CM\), если \(AC = BC = 4\) см.

В треугольнике \(ABC\) \(AC = BC = 4\), значит он равнобедренный и прямоугольный. Гипотенуза \(AB = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\).

Точка \(M\) делит \(AB\) в отношении \(AM : BM = 1 : 3\), значит \(M\) находится на расстоянии \( \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4} \) от \(A\).

Координаты точек: \(A(4,0)\), \(B(0,4)\), тогда

\(M_x = \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 4}{4} = 3\),

\(M_y = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 0}{4} = 1\).

Длина \(CM = \sqrt{(3-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором стороны \(AC\) и \(BC\) равны и равны 4 см, а угол \(C\) является прямым. Это значит, что треугольник равнобедренный и прямоугольный, где катеты равны по длине и образуют прямой угол. В таких треугольниках гипотенуза вычисляется по теореме Пифагора, которая говорит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Запишем это: \(AB^{2} = AC^{2} + BC^{2}\). Подставляя известные значения, получаем \(AB^{2} = 4^{2} + 4^{2} = 16 + 16 = 32\). Следовательно, длина гипотенузы \(AB = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) см.

Теперь рассмотрим точку \(M\), которая лежит на гипотенузе \(AB\) и делит её в отношении \(AM : BM = 1 : 3\). Это означает, что отрезок \(AB\) разбит на четыре равные части, из которых одна часть — это отрезок \(AM\), а три части — отрезок \(BM\). Чтобы найти точные координаты точки \(M\), удобно расположить треугольник на координатной плоскости так, чтобы вершина \(C\) была в начале координат \((0,0)\), точка \(A\) располагалась на оси \(x\) в точке \((4,0)\), а точка \(B\) на оси \(y\) в точке \((0,4)\). Такое расположение упрощает вычисления, так как координаты точек известны и легко подставляются в формулы.

Для нахождения координат точки \(M\), которая делит отрезок \(AB\) в заданном отношении, используем формулу деления отрезка в данном отношении: \(M_x = \frac{m \cdot x_B + n \cdot x_A}{m + n}\), \(M_y = \frac{m \cdot y_B + n \cdot y_A}{m + n}\), где \(m = 1\), \(n = 3\), \(x_A = 4\), \(y_A = 0\), \(x_B = 0\), \(y_B = 4\). Подставляя значения, получаем \(M_x = \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 4}{1 + 3} = \frac{12}{4} = 3\), \(M_y = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 0}{1 + 3} = \frac{4}{4} = 1\). Таким образом, координаты точки \(M\) равны \((3,1)\).

Последним шагом найдём длину отрезка \(CM\), соединяющего вершину \(C\) с точкой \(M\). Используем формулу расстояния между двумя точками на плоскости: \(CM = \sqrt{(x_M — x_C)^{2} + (y_M — y_C)^{2}}\). Подставим координаты: \(x_C = 0\), \(y_C = 0\), \(x_M = 3\), \(y_M = 1\). Тогда \(CM = \sqrt{(3 — 0)^{2} + (1 — 0)^{2}} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\) см. Таким образом, длина отрезка \(CM\) равна \( \sqrt{10} \) см.