ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 380 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты точки, равноудалённой от осей координат и от точки А (3; 6).

Пусть искомая точка имеет координаты \(P(x; y)\).
Поскольку точка равноудалена от осей координат, то \(|x| = |y|\). Рассмотрим случай \(y = x\).
Расстояние от точки \(P(x; x)\) до осей координат равно \(|x|\).
Расстояние от точки \(P(x; x)\) до точки \(A(3; 6)\) равно \(\sqrt{(x-3)^2 + (x-6)^2}\).
Приравниваем расстояния:
\(|x| = \sqrt{(x-3)^2 + (x-6)^2}\)
Возводим обе части в квадрат:
\(x^2 = (x-3)^2 + (x-6)^2\)
Раскрываем скобки:
\(x^2 = (x^2 — 6x + 9) + (x^2 — 12x + 36)\)
Упрощаем:
\(x^2 = 2x^2 — 18x + 45\)
Приводим к квадратному уравнению:
\(x^2 — 18x + 45 = 0\)
Находим дискриминант:
\(D = (-18)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 — 180 = 144\)
Находим корни уравнения:
\(x_1 = \frac{18 — \sqrt{144}}{2} = \frac{18 — 12}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
\(x_2 = \frac{18 + \sqrt{144}}{2} = \frac{18 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15\)
Так как \(y=x\), то соответствующие значения \(y\) равны \(y_1 = 3\) и \(y_2 = 15\).
Таким образом, искомые точки: \((3; 3)\) и \((15; 15)\).

Пусть искомая точка, равноудаленная от осей координат и от точки \(A(3; 6)\), обозначается как \(P(x; y)\).

Первое условие гласит, что точка \(P\) равноудалена от осей координат. Расстояние от точки \(P(x; y)\) до оси абсцисс (оси \(x\)) равно абсолютной величине ее ординаты, то есть \(|y|\). Расстояние от точки \(P(x; y)\) до оси ординат (оси \(y\)) равно абсолютной величине ее абсциссы, то есть \(|x|\). Из условия равноудаленности следует, что \(|x| = |y|\). Это равенство означает, что абсцисса и ордината точки \(P\) могут быть либо равны друг другу (\(y = x\)), либо противоположны по знаку (\(y = -x\)). Поскольку точка \(A(3; 6)\) находится в первом квадранте, и обычно в таких задачах ищутся решения, которые находятся в том же или смежных квадрантах, мы сначала рассмотрим случай, когда \(x\) и \(y\) имеют одинаковый знак, то есть \(y = x\). Если бы это не дало всех решений, мы бы рассмотрели и второй случай.

Второе условие состоит в том, что точка \(P\) равноудалена от точки \(A(3; 6)\). Расстояние между двумя точками с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) вычисляется по формуле \(\sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\). Подставляя координаты точки \(P(x; x)\) и точки \(A(3; 6)\) в эту формулу, получаем выражение для расстояния от \(P\) до \(A\): \(\sqrt{(x — 3)^2 + (x — 6)^2}\).

Теперь мы можем приравнять расстояния, полученные из двух условий. Расстояние от точки \(P\) до осей координат равно \(|x|\). Таким образом, мы получаем уравнение: \(|x| = \sqrt{(x — 3)^2 + (x — 6)^2}\).

Для того чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат. Это позволит избавиться от квадратного корня в правой части и от знака абсолютной величины в левой части, так как \(x^2 = |x|^2\). Получаем: \(x^2 = (x — 3)^2 + (x — 6)^2\).

Далее необходимо раскрыть скобки в правой части уравнения. Используем формулу квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\).
Для \((x — 3)^2\) это будет \(x^2 — 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 — 6x + 9\).
Для \((x — 6)^2\) это будет \(x^2 — 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = x^2 — 12x + 36\).
Подставляем эти выражения обратно в уравнение: \(x^2 = (x^2 — 6x + 9) + (x^2 — 12x + 36)\).

Теперь упростим правую часть уравнения, сгруппировав подобные члены: \(x^2 = 2x^2 — 18x + 45\).

Чтобы решить это квадратное уравнение, перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести его к стандартному виду \(ax^2 + bx + c = 0\). Вычтем \(x^2\) из обеих частей: \(0 = 2x^2 — x^2 — 18x + 45\), что упрощается до \(x^2 — 18x + 45 = 0\).

Для нахождения корней квадратного уравнения \(x^2 — 18x + 45 = 0\) используем формулу корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(D\) — дискриминант, вычисляемый по формуле \(D = b^2 — 4ac\). В нашем уравнении \(a = 1\), \(b = -18\), \(c = 45\).
Вычислим дискриминант: \(D = (-18)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 — 180 = 144\).
Теперь найдем квадратный корень из дискриминанта: \(\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12\).

Подставим значения в формулу для корней \(x\):
Первый корень: \(x_1 = \frac{-(-18) — 12}{2 \cdot 1} = \frac{18 — 12}{2} = \frac{6}{2} = 3\).
Второй корень: \(x_2 = \frac{-(-18) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15\).

Поскольку мы предположили, что \(y = x\), то для каждого найденного значения \(x\) соответствующее значение \(y\) будет таким же.
Для \(x_1 = 3\), \(y_1 = 3\). Таким образом, первая искомая точка имеет координаты \((3; 3)\).
Для \(x_2 = 15\), \(y_2 = 15\). Таким образом, вторая искомая точка имеет координаты \((15; 15)\).

Проверим полученные точки.
Для точки \((3; 3)\):
Расстояние до осей координат: \(|3| = 3\).
Расстояние до точки \(A(3; 6)\): \(\sqrt{(3-3)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 9} = \sqrt{9} = 3\).
Расстояния равны, значит, точка \((3; 3)\) является решением.

Для точки \((15; 15)\):
Расстояние до осей координат: \(|15| = 15\).
Расстояние до точки \(A(3; 6)\): \(\sqrt{(15-3)^2 + (15-6)^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\).
Расстояния равны, значит, точка \((15; 15)\) также является решением.

Искомые точки: \((3; 3)\) и \((15; 15)\).