ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 381 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты точки, равноудалённой от осей координат и от точки В (-4; 2).

Пусть искомая точка имеет координаты \( (x, y) \).
Расстояние от точки до оси \( Ox \) равно \( |y| \), а до оси \( Oy \) равно \( |x| \).
По условию, точка равноудалена от осей координат, следовательно, \( |x| = |y| \). Отсюда следует, что \( y = x \) или \( y = -x \).

Расстояние от точки \( (x, y) \) до точки \( B(-4, 2) \) равно \( \sqrt{(x — (-4))^2 + (y — 2)^2} = \sqrt{(x + 4)^2 + (y — 2)^2} \).
По условию, это расстояние равно \( |x| \).
Тогда \( |x| = \sqrt{(x + 4)^2 + (y — 2)^2} \).
Возведем обе части в квадрат: \( x^2 = (x + 4)^2 + (y — 2)^2 \).

Случай 1: \( y = x \).
Подставим \( y = x \) в уравнение:
\( x^2 = (x + 4)^2 + (x — 2)^2 \)
\( x^2 = x^2 + 8x + 16 + x^2 — 4x + 4 \)
\( x^2 = 2x^2 + 4x + 20 \)
\( 0 = x^2 + 4x + 20 \)
Дискриминант \( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 16 — 80 = -64 \).
Так как \( D < 0 \), действительных решений нет.

Случай 2: \( y = -x \).
Подставим \( y = -x \) в уравнение:
\( x^2 = (x + 4)^2 + (-x — 2)^2 \)
Заметим, что \( (-x — 2)^2 = (x + 2)^2 \).
\( x^2 = (x + 4)^2 + (x + 2)^2 \)
\( x^2 = x^2 + 8x + 16 + x^2 + 4x + 4 \)
\( x^2 = 2x^2 + 12x + 20 \)
\( 0 = x^2 + 12x + 20 \)
Дискриминант \( D = 12^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 — 80 = 64 \).
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-12 — \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 — 8}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \)
\( x_2 = \frac{-12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

Для \( x_1 = -10 \): \( y_1 = -(-10) = 10 \). Точка \( (-10, 10) \).
Для \( x_2 = -2 \): \( y_2 = -(-2) = 2 \). Точка \( (-2, 2) \).

Ответ: \( (-10; 10); (-2; 2) \).

Пусть искомая точка имеет координаты \( (x, y) \).

Первое условие гласит, что точка равноудалена от осей координат. Расстояние от точки \( (x, y) \) до оси абсцисс (оси \( Ox \)) равно абсолютной величине ее ординаты, то есть \( |y| \). Расстояние от точки \( (x, y) \) до оси ординат (оси \( Oy \)) равно абсолютной величине ее абсциссы, то есть \( |x| \). Из условия равноудаленности следует, что \( |x| = |y| \). Это равенство выполняется в двух случаях: либо \( y = x \), либо \( y = -x \).

Второе условие гласит, что эта же точка равноудалена от осей координат и от заданной точки \( B(-4, 2) \). Это означает, что расстояние от \( (x, y) \) до точки \( B(-4, 2) \) должно быть равно \( |x| \) (или \( |y| \), что то же самое). Расстояние между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) вычисляется по формуле \( \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \). Применяя эту формулу для точек \( (x, y) \) и \( B(-4, 2) \), получаем расстояние \( d(P, B) = \sqrt{(x — (-4))^2 + (y — 2)^2} = \sqrt{(x + 4)^2 + (y — 2)^2} \).

Таким образом, мы имеем уравнение: \( |x| = \sqrt{(x + 4)^2 + (y — 2)^2} \). Для удобства решения возведем обе части этого уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня. При этом важно помнить, что возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому в конце необходимо будет выполнить проверку. Получаем: \( x^2 = (x + 4)^2 + (y — 2)^2 \).

Рассмотрим первый случай, когда \( y = x \). Подставим \( y = x \) в полученное уравнение:
\( x^2 = (x + 4)^2 + (x — 2)^2 \)
Теперь раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) и квадрата разности \( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \):
\( x^2 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) + (x^2 — 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) \)
\( x^2 = (x^2 + 8x + 16) + (x^2 — 4x + 4) \)
Объединим подобные члены в правой части уравнения:
\( x^2 = 2x^2 + 4x + 20 \)
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\( 0 = 2x^2 — x^2 + 4x + 20 \)
\( 0 = x^2 + 4x + 20 \)
Для решения этого квадратного уравнения вычислим дискриминант \( D = b^2 — 4ac \):
\( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 16 — 80 = -64 \)
Поскольку дискриминант отрицательный \( (D < 0) \), это означает, что у данного квадратного уравнения нет действительных корней. Следовательно, в случае \( y = x \) не существует точек, удовлетворяющих заданным условиям. Рассмотрим второй случай, когда \( y = -x \). Подставим \( y = -x \) в уравнение \( x^2 = (x + 4)^2 + (y - 2)^2 \): \( x^2 = (x + 4)^2 + (-x - 2)^2 \) Заметим, что \( (-x - 2)^2 = (-(x + 2))^2 = (x + 2)^2 \). Таким образом, уравнение примет вид: \( x^2 = (x + 4)^2 + (x + 2)^2 \) Раскроем скобки: \( x^2 = (x^2 + 8x + 16) + (x^2 + 4x + 4) \) Объединим подобные члены в правой части: \( x^2 = 2x^2 + 12x + 20 \) Перенесем все члены в одну сторону: \( 0 = 2x^2 - x^2 + 12x + 20 \) \( 0 = x^2 + 12x + 20 \) Вычислим дискриминант для этого квадратного уравнения: \( D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64 \) Поскольку дискриминант положительный \( (D > 0) \), уравнение имеет два различных действительных корня, которые можно найти по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):
\( x_1 = \frac{-12 — \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 — 8}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \)
\( x_2 = \frac{-12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для каждого найденного значения \( x \), используя соотношение \( y = -x \).
Для \( x_1 = -10 \):
\( y_1 = -(-10) = 10 \)
Таким образом, первая потенциальная точка имеет координаты \( (-10, 10) \).

Для \( x_2 = -2 \):
\( y_2 = -(-2) = 2 \)
Таким образом, вторая потенциальная точка имеет координаты \( (-2, 2) \).

Выполним проверку для каждой найденной точки.
Для точки \( (-10, 10) \):
Расстояние до оси \( Ox \) равно \( |10| = 10 \).
Расстояние до оси \( Oy \) равно \( |-10| = 10 \).
Расстояние до точки \( B(-4, 2) \) равно \( \sqrt{(-10 — (-4))^2 + (10 — 2)^2} = \sqrt{(-10 + 4)^2 + (8)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2}=\)
\( = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \).
Все три расстояния равны 10, следовательно, точка \( (-10, 10) \) удовлетворяет всем условиям.

Для точки \( (-2, 2) \):
Расстояние до оси \( Ox \) равно \( |2| = 2 \).
Расстояние до оси \( Oy \) равно \( |-2| = 2 \).
Расстояние до точки \( B(-4, 2) \) равно \( \sqrt{(-2 — (-4))^2 + (2 — 2)^2} = \sqrt{(-2 + 4)^2 + (0)^2} = \sqrt{(2)^2 + 0^2} =\)
\(= \sqrt{4 + 0} = \sqrt{4} = 2 \).
Все три расстояния равны 2, следовательно, точка \( (-2, 2) \) также удовлетворяет всем условиям.

Обе найденные точки являются решениями задачи.

Ответ: \( (-10; 10); (-2; 2) \).