ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 382 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Составьте уравнение окружности, проходящей через точки А (2; 0) и В (4; 0), центр которой принадлежит прямой \(2x + 3y = 18\).

Краткий ответ:

Середина хорды \(AB\): \(x = \frac{2+4}{2} = 3\), \(y = \frac{0+0}{2} = 0\). Середина \((3; 0)\).
Перпендикулярный биссектор хорды \(AB\) — это прямая \(x = 3\).

Центр окружности находится на пересечении прямых \(x = 3\) и \(2x + 3y = 18\).
Подставим \(x = 3\) в \(2x + 3y = 18\): \(2 \cdot 3 + 3y = 18\).
\(6 + 3y = 18\).
\(3y = 12\).
\(y = 4\).
Координаты центра окружности: \((3; 4)\).

Радиус окружности \(R\) — это расстояние от центра \((3; 4)\) до точки \(A(2; 0)\).
\(R = \sqrt{(3-2)^2 + (4-0)^2}\).
\(R = \sqrt{1^2 + 4^2}\).
\(R = \sqrt{1 + 16}\).
\(R = \sqrt{17}\).
Тогда \(R^2 = 17\).

Уравнение окружности: \((x — 3)^2 + (y — 4)^2 = 17\).

Подробный ответ:

Для начала определим координаты середины хорды \(AB\). Середина хорды является точкой, через которую проходит перпендикулярный биссектор этой хорды. Центр окружности лежит на этом биссекторе. Координаты точек \(A\) и \(B\) заданы как \(A(2; 0)\) и \(B(4; 0)\). Чтобы найти координаты середины \(M(x_M; y_M)\) отрезка, соединяющего две точки \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\), мы используем формулы: \(x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}\) и \(y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}\). Подставляя координаты точек \(A\) и \(B\), получаем:
\(x_M = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3\).
\(y_M = \frac{0 + 0}{2} = \frac{0}{2} = 0\).
Таким образом, середина хорды \(AB\) находится в точке \(M(3; 0)\).

Теперь найдем уравнение перпендикулярного биссектора хорды \(AB\). Поскольку обе точки \(A(2; 0)\) и \(B(4; 0)\) имеют одинаковую \(y\)-координату, равную нулю, хорда \(AB\) является горизонтальным отрезком, лежащим на оси абсцисс. Прямая, перпендикулярная горизонтальной прямой, всегда является вертикальной прямой. Вертикальная прямая, проходящая через точку \((x_0; y_0)\), имеет уравнение \(x = x_0\). Поскольку перпендикулярный биссектор проходит через середину хорды \(M(3; 0)\), его уравнение будет \(x = 3\). Эта прямая содержит все возможные положения центра окружности, равноудаленные от точек \(A\) и \(B\).

Центр окружности \((h; k)\) должен удовлетворять двум условиям: он лежит на перпендикулярном биссекторе хорды \(AB\) (то есть на прямой \(x = 3\)) и он лежит на заданной прямой \(2x + 3y = 18\). Чтобы найти координаты центра, нам нужно найти точку пересечения этих двух прямых. Мы уже знаем, что \(x\)-координата центра равна \(3\). Подставим это значение \(x\) в уравнение второй прямой:
\(2(3) + 3y = 18\).
Выполним умножение: \(6 + 3y = 18\).
Чтобы найти \(y\), вычтем \(6\) из обеих частей уравнения: \(3y = 18 — 6\).
\(3y = 12\).
Разделим обе части на \(3\): \(y = \frac{12}{3} = 4\).
Таким образом, координаты центра окружности: \((h; k) = (3; 4)\).

Радиус окружности \(R\) — это расстояние от центра окружности до любой точки на окружности. Мы можем использовать либо точку \(A(2; 0)\), либо точку \(B(4; 0)\). Для удобства возьмем точку \(A(2; 0)\) и найденный центр \((3; 4)\). Формула расстояния между двумя точками \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равна \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\).
Подставим координаты центра \((3; 4)\) и точки \(A(2; 0)\):
\(R = \sqrt{(3 — 2)^2 + (4 — 0)^2}\).
Вычислим разности: \(R = \sqrt{(1)^2 + (4)^2}\).
Возведем в квадрат: \(R = \sqrt{1 + 16}\).
Сложим значения: \(R = \sqrt{17}\).
Для уравнения окружности нам потребуется квадрат радиуса, то есть \(R^2\).
\(R^2 = (\sqrt{17})^2 = 17\).

Стандартное уравнение окружности с центром \((h; k)\) и радиусом \(R\) имеет вид \((x — h)^2 + (y — k)^2 = R^2\).
Мы нашли, что центр окружности \((h; k)\) равен \((3; 4)\), и квадрат радиуса \(R^2\) равен \(17\).
Подставим эти значения в стандартное уравнение:
\((x — 3)^2 + (y — 4)^2 = 17\).

Оцени решение