ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 383 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, радиус которых равен 5 и которые отсекают на оси абсцисс хорду длиной 6.

1) Половина хорды: \(a = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\).
2) Расстояние от центра до оси абсцисс: Пусть \(R\) — радиус окружности, \(R = 5\). По теореме Пифагора \(R^2 = a^2 + y^2\), где \(y\) — y-координата центра окружности. Получаем \(5^2 = 3^2 + y^2\). Отсюда \(25 = 9 + y^2\), значит \(y^2 = 16\). Следовательно, \(y = 4\) или \(y = -4\).
3) Центр окружности лежит на прямых \(y = 4\) или \(y = -4\). Это можно записать как \((y — 4)(y + 4) = 0\).

Рассмотрим окружность с центром в точке \((x_0, y_0)\) и радиусом \(R = 5\). Эта окружность отсекает на оси абсцисс, то есть на прямой \(y = 0\), хорду длиной 6.

Для начала, представим эту ситуацию геометрически. Если окружность пересекает ось абсцисс, то хорда лежит на этой оси. Расстояние от центра окружности до хорды (в данном случае, до оси абсцисс) является перпендикуляром, опущенным из центра на хорду. Этот перпендикуляр делит хорду пополам.

Длина всей хорды равна 6. Следовательно, половина длины хорды будет равна \(\frac{6}{2} = 3\).

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный радиусом окружности, половиной хорды и перпендикулярным расстоянием от центра окружности до хорды.
В этом прямоугольном треугольнике:
Гипотенуза — это радиус окружности, который равен \(R = 5\).
Один катет — это половина длины хорды, которая равна 3.
Второй катет — это расстояние от центра окружности до оси абсцисс. Это расстояние равно абсолютной величине y-координаты центра окружности, то есть \(|y_0|\).

Применим теорему Пифагора к этому прямоугольному треугольнику: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Таким образом, мы получаем уравнение:
\(R^2 = (\text{половина хорды})^2 + (|y_0|)^2\)
Подставляем известные значения:
\(5^2 = 3^2 + y_0^2\)

Вычисляем квадраты:
\(25 = 9 + y_0^2\)

Теперь найдем значение \(y_0^2\), вычитая 9 из обеих частей уравнения:
\(y_0^2 = 25 — 9\)
\(y_0^2 = 16\)

Чтобы найти \(y_0\), извлечем квадратный корень из 16. Важно помнить, что квадратный корень может быть как положительным, так и отрицательным:
\(y_0 = \sqrt{16}\) или \(y_0 = -\sqrt{16}\)
Следовательно, \(y_0 = 4\) или \(y_0 = -4\).

Это означает, что y-координата центра окружности может быть либо 4, либо -4. x-координата центра окружности \((x_0)\) может быть любой, так как горизонтальное смещение окружности вдоль оси абсцисс не влияет на радиус или длину хорды, отсекаемой на этой оси.

Таким образом, геометрическим местом центров таких окружностей являются две горизонтальные прямые: \(y = 4\) и \(y = -4\).
Эти две прямые можно описать одним уравнением. Если точка \((x, y)\) лежит на одной из этих прямых, то либо \(y — 4 = 0\), либо \(y + 4 = 0\).
Произведение этих двух выражений будет равно нулю:
\((y — 4)(y + 4) = 0\)
Это уравнение описывает обе прямые и является искомым геометрическим местом центров окружностей.