ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 384 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Диагонали параллелограмма равны \(6\sqrt{2}\) см и 8 см, а угол между ними составляет 45°. Найдите стороны параллелограмма.
\(AO = CO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\) см. \(BO = DO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\) см. \( \angle BOC = 180^\circ — \angle AOB = 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ \).
В треугольнике AOB по теореме косинусов: \(AB^2 = AO^2 + BO^2 — 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\angle AOB)\). \(AB^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 — 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \cos(45^\circ)\). \(AB^2 = 18 + 16 — 2 \cdot 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\). \(AB^2 = 34 — 24\). \(AB^2 = 10\). \(AB = \sqrt{10}\) см.
В треугольнике BOC по теореме косинусов: \(BC^2 = BO^2 + CO^2 — 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(\angle BOC)\). \(BC^2 = 4^2 + (3\sqrt{2})^2 — 2 \cdot 4 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot \cos(135^\circ)\). \(BC^2 = 16 + 18 — 2 \cdot 12\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\). \(BC^2 = 34 + 24\). \(BC^2 = 58\). \(BC = \sqrt{58}\) см.
Ответ: \(\sqrt{10}\) см; \(\sqrt{58}\) см.
В параллелограмме ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка O является серединой каждой из диагоналей.
Следовательно, длина отрезка AO равна половине длины диагонали AC, и длина отрезка OC также равна половине длины диагонали AC. Аналогично, длина отрезка BO равна половине длины диагонали BD, и длина отрезка OD также равна половине длины диагонали BD.
Таким образом, мы можем вычислить длины этих отрезков:
\(AO = OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\) сантиметров.
И \(BO = OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\) сантиметра.
Угол между диагоналями \(\angle AOB\) задан как \(45^\circ\). Углы, которые являются смежными друг другу, в сумме дают \(180^\circ\). Угол \(\angle BOC\) является смежным углу \(\angle AOB\).
Поэтому, мы можем найти величину угла \(\angle BOC\):
\(\angle BOC = 180^\circ — \angle AOB = 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ\).
Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длин сторон параллелограмма. Рассмотрим треугольник AOB. В этом треугольнике нам известны две стороны \(AO = 3\sqrt{2}\) см и \(BO = 4\) см, а также угол между ними \(\angle AOB = 45^\circ\).
По теореме косинусов, квадрат стороны AB равен:
\(AB^2 = AO^2 + BO^2 — 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\angle AOB)\).
Подставим известные значения:
\(AB^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 — 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \cos(45^\circ)\).
Вычислим квадраты и произведения:
\((3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18\).
\(4^2 = 16\).
Значение косинуса \(45^\circ\) равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Продолжим вычисления:
\(AB^2 = 18 + 16 — 2 \cdot 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\).
\(AB^2 = 34 — 24 \cdot \frac{2}{2}\).
\(AB^2 = 34 — 24 \cdot 1\).
\(AB^2 = 34 — 24\).
\(AB^2 = 10\).
Чтобы найти длину стороны AB, возьмем квадратный корень из 10:
\(AB = \sqrt{10}\) сантиметров.
Далее, рассмотрим треугольник BOC. В этом треугольнике нам известны две стороны \(BO = 4\) см и \(CO = 3\sqrt{2}\) см, а также угол между ними \(\angle BOC = 135^\circ\).
По теореме косинусов, квадрат стороны BC равен:
\(BC^2 = BO^2 + CO^2 — 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(\angle BOC)\).
Подставим известные значения:
\(BC^2 = 4^2 + (3\sqrt{2})^2 — 2 \cdot 4 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot \cos(135^\circ)\).
Мы уже знаем, что \(4^2 = 16\) и \((3\sqrt{2})^2 = 18\).
Значение косинуса \(135^\circ\) равно \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Продолжим вычисления:
\(BC^2 = 16 + 18 — 2 \cdot 12\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
\(BC^2 = 34 — 24 \cdot \left(-\frac{2}{2}\right)\).
\(BC^2 = 34 — 24 \cdot (-1)\).
\(BC^2 = 34 + 24\).
\(BC^2 = 58\).
Чтобы найти длину стороны BC, возьмем квадратный корень из 58:
\(BC = \sqrt{58}\) сантиметров.
Ответ: \(\sqrt{10}\) см; \(\sqrt{58}\) см.
