ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 385 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Одна из сторон треугольника на 15 см больше другой, а высота, проведённая к третьей стороне, делит её на отрезки длиной 32 см и 7 см. Найдите периметр треугольника.

Дано: \(AB = BC + 15\) см; \(BH\) — высота; \(AH = 32\) см; \(CH = 7\) см. Найти: \(P_{ABC}\).

Решение:
1. Рассмотрим \(\triangle ABH\). Угол \(H = 90^\circ\). По теореме Пифагора: \(AB^2 = AH^2 + BH^2\).
Подставляем значения: \((BC + 15)^2 = 32^2 + BH^2\).
Раскрываем скобки: \(BC^2 + 30BC + 225 = 1024 + BH^2\).
Выражаем \(BH^2\): \(BH^2 = BC^2 + 30BC — 799\). (1)

2. Рассмотрим \(\triangle CBH\). Угол \(H = 90^\circ\). По теореме Пифагора: \(BC^2 = CH^2 + BH^2\).
Подставляем значения: \(BC^2 = 7^2 + BH^2\).
Выражаем \(BH^2\): \(BH^2 = BC^2 — 49\). (2)

3. Приравниваем выражения для \(BH^2\) из (1) и (2):
\(BC^2 + 30BC — 799 = BC^2 — 49\).
Упрощаем: \(30BC — 799 = -49\).
\(30BC = 799 — 49\).
\(30BC = 750\).
\(BC = \frac{750}{30}\).
\(BC = 25\) см.

4. Находим длины сторон \(\triangle ABC\):
\(AB = BC + 15 = 25 + 15 = 40\) см.
\(AC = AH + CH = 32 + 7 = 39\) см.

5. Находим периметр \(\triangle ABC\):
\(P_{ABC} = AB + BC + AC = 40 + 25 + 39 = 104\) см.

Ответ: 104 см.

Дано: треугольник \(ABC\), \(BH\) — высота к стороне \(AC\), \(AB = BC + 15\) см, \(AH = 32\) см, \(CH = 7\) см. Требуется найти периметр треугольника \(ABC\), который обозначается как \(P_{ABC}\).

Для решения данной задачи мы будем использовать теорему Пифагора, так как высота \(BH\) образует два прямоугольных треугольника: \(\triangle ABH\) и \(\triangle CBH\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ABH\). В этом треугольнике угол при вершине \(H\) равен \(90^\circ\), поскольку \(BH\) является высотой. Сторона \(AB\) является гипотенузой, а стороны \(AH\) и \(BH\) являются катетами. Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Таким образом, мы можем записать: \(AB^2 = AH^2 + BH^2\). Нам известно, что \(AB = BC + 15\) и \(AH = 32\). Подставим эти значения в уравнение: \((BC + 15)^2 = 32^2 + BH^2\). Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\): \(BC^2 + 2 \cdot BC \cdot 15 + 15^2 = 32^2 + BH^2\). Это дает нам \(BC^2 + 30BC + 225 = 1024 + BH^2\). Теперь выразим \(BH^2\) из этого уравнения, перенеся 1024 в левую часть: \(BH^2 = BC^2 + 30BC + 225 — 1024\). Выполнив вычитание, получаем первое выражение для \(BH^2\): \(BH^2 = BC^2 + 30BC — 799\).

Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник, \(\triangle CBH\). В этом треугольнике также угол при вершине \(H\) равен \(90^\circ\). Сторона \(BC\) является гипотенузой, а стороны \(CH\) и \(BH\) являются катетами. Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, получаем: \(BC^2 = CH^2 + BH^2\). Нам известно, что \(CH = 7\). Подставим это значение в уравнение: \(BC^2 = 7^2 + BH^2\). Вычислим \(7^2\), что равно 49. Таким образом, уравнение принимает вид: \(BC^2 = 49 + BH^2\). Выразим \(BH^2\) из этого уравнения, перенеся 49 в левую часть: \(BH^2 = BC^2 — 49\). Это наше второе выражение для \(BH^2\).

Поскольку оба полученных выражения представляют одно и то же значение \(BH^2\), мы можем приравнять их друг к другу: \(BC^2 + 30BC — 799 = BC^2 — 49\). Это уравнение позволяет нам найти значение \(BC\). Сначала вычтем \(BC^2\) из обеих частей уравнения. Это упрощает уравнение до: \(30BC — 799 = -49\). Далее, чтобы найти \(BC\), перенесем -799 в правую часть уравнения, изменив его знак: \(30BC = -49 + 799\). Выполнив сложение в правой части, получаем: \(30BC = 750\). Наконец, разделим обе части уравнения на 30, чтобы найти \(BC\): \(BC = \frac{750}{30}\). В результате вычислений получаем: \(BC = 25\) см.

Теперь, когда мы знаем длину стороны \(BC\), мы можем найти длины остальных сторон треугольника \(ABC\). Длина стороны \(AB\) задана как \(AB = BC + 15\). Подставим найденное значение \(BC = 25\) см: \(AB = 25 + 15\). Таким образом, \(AB = 40\) см. Длина стороны \(AC\) является суммой длин отрезков \(AH\) и \(CH\), так как точка \(H\) лежит на отрезке \(AC\). \(AC = AH + CH\). Подставим данные значения \(AH = 32\) см и \(CH = 7\) см: \(AC = 32 + 7\). Следовательно, \(AC = 39\) см.

Последним шагом является вычисление периметра треугольника \(ABC\). Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: \(P_{ABC} = AB + BC + AC\). Подставим найденные длины сторон: \(P_{ABC} = 40 + 25 + 39\). Выполнив сложение, получаем: \(P_{ABC} = 104\) см.

104 см.