Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 386 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, лежит на её большем основании. Найдите радиус окружности, если диагональ трапеции равна 20 см, а высота — 12 см.
Поскольку центр описанной окружности лежит на большем основании \(AD\), то \(AD\) является диаметром этой окружности. Угол \( \angle ABD \) опирается на диаметр, поэтому \( \angle ABD = 90^\circ \).
В прямоугольном треугольнике \( \triangle BHD \) (так как \(BH\) — высота) по теореме Пифагора найдем \(DH\):
\( DH = \sqrt{BD^2 — BH^2} = \sqrt{20^2 — 12^2} = \sqrt{400 — 144} = \sqrt{256} = 16 \) см.
Треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle BHD \) подобны по двум углам (у них есть общий угол \( \angle ADB \) и оба являются прямоугольными: \( \angle ABD = 90^\circ \), \( \angle BHD = 90^\circ \)).
Из подобия следует соотношение сторон: \( \frac{AD}{BD} = \frac{BD}{DH} \).
Отсюда \( AD = \frac{BD^2}{DH} = \frac{20^2}{16} = \frac{400}{16} = 25 \) см.
Радиус окружности \(R\) равен половине диаметра \(AD\):
\( R = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 25 = 12.5 \) см.
12.5 см.
Поскольку трапеция является равнобокой и вписана в окружность, а центр описанной окружности \(O\) лежит на ее большем основании \(AD\), это означает, что отрезок \(AD\) является диаметром данной окружности. Известно, что любой угол, вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр, является прямым. Следовательно, угол \( \angle ABD \) в треугольнике \( \triangle ABD \) является прямым, то есть \( \angle ABD = 90^\circ \).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BHD \). В этом треугольнике \(BH\) является высотой, поэтому угол \( \angle BHD \) равен \(90^\circ\). Нам известны длина гипотенузы \(BD = 20\) см и длина катета \(BH = 12\) см. Мы можем найти длину второго катета \(DH\) с помощью теоремы Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, \( DH^2 = BD^2 — BH^2 \). Подставляя известные значения, получаем \( DH^2 = 20^2 — 12^2 = 400 — 144 = 256 \). Извлекая квадратный корень, находим \( DH = \sqrt{256} = 16 \) см.
Теперь рассмотрим два треугольника: \( \triangle ABD \) и \( \triangle BHD \). У этих двух треугольников есть общий угол \( \angle ADB \). Кроме того, мы уже установили, что угол \( \angle ABD \) в треугольнике \( \triangle ABD \) равен \(90^\circ\), и угол \( \angle BHD \) в треугольнике \( \triangle BHD \) также равен \(90^\circ\). Поскольку два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, эти треугольники подобны по признаку подобия по двум углам (AA). То есть, \( \triangle ABD \sim \triangle BHD \).
Из подобия треугольников следует, что отношения соответствующих сторон равны. Мы можем записать следующее соотношение: \( \frac{AD}{BD} = \frac{BD}{DH} \). Из этого соотношения мы можем выразить длину отрезка \(AD\), который является диаметром окружности: \( AD = \frac{BD \cdot BD}{DH} = \frac{BD^2}{DH} \). Подставляя известные значения \(BD = 20\) см и \(DH = 16\) см, получаем \( AD = \frac{20^2}{16} = \frac{400}{16} = 25 \) см.
Наконец, поскольку \(AD\) является диаметром описанной окружности, радиус \(R\) этой окружности равен половине диаметра. Таким образом, \( R = \frac{1}{2} AD \). Подставляя найденное значение \(AD\), получаем \( R = \frac{1}{2} \cdot 25 = 12.5 \) см.
12.5 см.
