ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 39 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Две стороны треугольника равны 3 см и 4 см, а синус угла между ними равен \(\frac{\sqrt{35}}{6}\). Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?
Даны стороны \(a = 3\) см и \(b = 4\) см, синус угла между ними \(\sin \theta = \frac{\sqrt{35}}{6}\).
Найдем \(\cos \theta\):
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
\(\left(\frac{\sqrt{35}}{6}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1\)
\(\frac{35}{36} + \cos^2 \theta = 1\)
\(\cos^2 \theta = 1 — \frac{35}{36} = \frac{1}{36}\)
\(\cos \theta = \pm \frac{1}{6}\)
Вычислим третью сторону по формуле косинусов:
\(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos \theta\)
Если \(\cos \theta = \frac{1}{6}\):
\(c^2 = 3^2 + 4^2 — 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{6} = 9 + 16 — 4 = 21\)
\(c = \sqrt{21}\)
Если \(\cos \theta = -\frac{1}{6}\):
\(c^2 = 9 + 16 + 4 = 29\)
\(c = \sqrt{29}\)
Ответ: \(c = \sqrt{21}\) или \(c = \sqrt{29}\). Задача имеет 2 решения.
Дано: две стороны треугольника \(a = 3\) см и \(b = 4\) см, а также синус угла между ними \(\sin \theta = \frac{\sqrt{35}}{6}\). Чтобы найти третью сторону \(c\), нужно использовать теорему косинусов, но сначала необходимо определить косинус угла \(\theta\). Для этого применим тригонометрическое тождество, которое связывает синус и косинус одного угла: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\).
Подставим известное значение синуса в это тождество. Квадрат синуса равен \(\left(\frac{\sqrt{35}}{6}\right)^2 = \frac{35}{36}\). Значит, уравнение примет вид \(\frac{35}{36} + \cos^2 \theta = 1\). Чтобы найти \(\cos^2 \theta\), вычтем \(\frac{35}{36}\) из единицы: \(\cos^2 \theta = 1 — \frac{35}{36} = \frac{1}{36}\). Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для косинуса: \(\cos \theta = \frac{1}{6}\) или \(\cos \theta = -\frac{1}{6}\). Это связано с тем, что косинус может быть положительным или отрицательным в зависимости от положения угла в треугольнике.
Теперь, зная возможные значения косинуса угла, используем теорему косинусов для вычисления третьей стороны \(c\). Формула выглядит так: \(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos \theta\). Подставим значения для первого случая, когда \(\cos \theta = \frac{1}{6}\): \(c^2 = 3^2 + 4^2 — 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{6} = 9 + 16 — 4 = 21\). Значит, \(c = \sqrt{21}\). Во втором случае, когда \(\cos \theta = -\frac{1}{6}\), вычисляем: \(c^2 = 9 + 16 — 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = 25 + 4 = 29\), отсюда \(c = \sqrt{29}\). Таким образом, в зависимости от знака косинуса угла, третья сторона треугольника может принимать два значения: \(\sqrt{21}\) или \(\sqrt{29}\), что означает, что задача имеет два решения.
