ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 393 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М (-1; 9) и параллельной прямой: 1) \(y = -7x + 3\); 2) \(3x — 4y = -8\).

1) Уравнение прямой \(y = -7x + 3\). Угловой коэффициент равен \(-7\).
Параллельная прямая имеет тот же угловой коэффициент, то есть \(y = -7x + b\).
Подставим координаты точки \(M(-1; 9)\) в уравнение:
\(9 = -7 \cdot (-1) + b\)
\(9 = 7 + b\)
\(b = 9 — 7\)
\(b = 2\)
Ответ: \(y = -7x + 2\).

2) Уравнение прямой \(3x — 4y = -8\).
Параллельная прямая имеет вид \(3x — 4y = C\).
Подставим координаты точки \(M(-1; 9)\) в уравнение:
\(3 \cdot (-1) — 4 \cdot 9 = C\)
\(-3 — 36 = C\)
\(C = -39\)
Ответ: \(3x — 4y = -39\).

Для того чтобы найти уравнение прямой, которая проходит через заданную точку и параллельна другой прямой, мы должны использовать свойство параллельных прямых: они имеют одинаковый угловой коэффициент, или, в случае общего уравнения прямой, пропорциональные коэффициенты при \(x\) и \(y\).

Рассмотрим первый случай, когда искомая прямая параллельна прямой \(y = -7x + 3\).
Уравнение прямой в виде \(y = mx + b\) называется уравнением с угловым коэффициентом, где \(m\) — это угловой коэффициент, а \(b\) — это координата \(y\) точки пересечения прямой с осью \(y\).
Из данного уравнения \(y = -7x + 3\) мы видим, что угловой коэффициент \(m\) этой прямой равен \(-7\).
Поскольку искомая прямая параллельна данной, ее угловой коэффициент также должен быть равен \(-7\).
Следовательно, уравнение искомой прямой будет иметь вид \(y = -7x + b\).
Теперь нам необходимо найти значение \(b\). Мы знаем, что эта прямая проходит через точку \(M(-1; 9)\). Это означает, что если мы подставим координаты этой точки в уравнение прямой, то равенство должно быть верным.
Подставляем \(x = -1\) и \(y = 9\) в уравнение \(y = -7x + b\):
\(9 = -7 \cdot (-1) + b\)
Выполняем умножение:
\(9 = 7 + b\)
Чтобы найти \(b\), вычитаем \(7\) из обеих частей уравнения:
\(b = 9 — 7\)
\(b = 2\)
Теперь, когда мы нашли значение \(b\), мы можем записать полное уравнение искомой прямой:
\(y = -7x + 2\)

Рассмотрим второй случай, когда искомая прямая параллельна прямой \(3x — 4y = -8\).
Уравнение прямой в виде \(Ax + By = C\) называется общим уравнением прямой.
Если две прямые параллельны, то их общие уравнения имеют одинаковые или пропорциональные коэффициенты при \(x\) и \(y\). Это означает, что если одна прямая имеет уравнение \(Ax + By = C\), то параллельная ей прямая будет иметь уравнение \(Ax + By = C’\), где \(C’\) — это некоторое новое число.
В нашем случае, данная прямая имеет уравнение \(3x — 4y = -8\). Следовательно, искомая параллельная прямая будет иметь вид \(3x — 4y = C\).
Нам известно, что эта прямая проходит через точку \(M(-1; 9)\). Мы можем использовать координаты этой точки, чтобы найти значение \(C\).
Подставляем \(x = -1\) и \(y = 9\) в уравнение \(3x — 4y = C\):
\(3 \cdot (-1) — 4 \cdot 9 = C\)
Выполняем умножение:
\(-3 — 36 = C\)
Выполняем вычитание:
\(-39 = C\)
Таким образом, значение \(C\) равно \(-39\).
Теперь мы можем записать полное уравнение искомой прямой:
\(3x — 4y = -39\)