ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 395 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку А (2; 6) и образует с положительным направлением оси абсцисс угол: 1) 60°; 2) 120°.
1) \(a = 60^\circ\)
\(k = \tan a = \tan 60^\circ = \sqrt{3}\)
\(6 = 2\sqrt{3} + b\)
\(b = 6 — 2\sqrt{3}\)
Ответ: \(y = x\sqrt{3} + 6 — 2\sqrt{3}\)
2) \(a = 120^\circ\)
\(k = \tan a = \tan 120^\circ = -\sqrt{3}\)
\(6 = 2(-\sqrt{3}) + b\)
\(b = 6 + 2\sqrt{3}\)
Ответ: \(y = -x\sqrt{3} + 6 + 2\sqrt{3}\)
Для определения уравнения прямой, проходящей через заданную точку \(A(x_0; y_0)\) и образующей угол \(\alpha\) с положительным направлением оси абсцисс, используется общая формула уравнения прямой \(y = kx + b\). Здесь \(k\) представляет собой угловой коэффициент прямой, который вычисляется как тангенс угла наклона, то есть \(k = \tan \alpha\). Константа \(b\) является свободным членом, который показывает точку пересечения прямой с осью ординат.
В данном случае, заданная точка \(A\) имеет координаты \((2; 6)\), что означает, что \(x_0 = 2\) и \(y_0 = 6\).
Рассмотрим первый случай, когда угол \(\alpha\) равен \(60^\circ\).
Первым шагом является вычисление углового коэффициента \(k\). Для этого мы используем формулу \(k = \tan \alpha\). Подставляя значение угла, получаем \(k = \tan 60^\circ\). Известно, что тангенс \(60^\circ\) равен \(\sqrt{3}\). Следовательно, угловой коэффициент \(k = \sqrt{3}\).
Следующим шагом является нахождение значения свободного члена \(b\). Для этого мы подставляем известные значения \(x_0 = 2\), \(y_0 = 6\) и найденный угловой коэффициент \(k = \sqrt{3}\) в общее уравнение прямой \(y = kx + b\). Получаем уравнение \(6 = \sqrt{3} \cdot 2 + b\).
Далее, упрощаем это уравнение: \(6 = 2\sqrt{3} + b\). Чтобы найти \(b\), вычитаем \(2\sqrt{3}\) из обеих частей уравнения: \(b = 6 — 2\sqrt{3}\).
Наконец, мы записываем окончательное уравнение прямой, подставляя найденные значения \(k\) и \(b\) в формулу \(y = kx + b\). Таким образом, уравнение прямой для первого случая будет \(y = \sqrt{3}x + (6 — 2\sqrt{3})\), или, переставляя члены для ясности, \(y = x\sqrt{3} + 6 — 2\sqrt{3}\).
Теперь рассмотрим второй случай, когда угол \(\alpha\) равен \(120^\circ\).
Аналогично первому случаю, первым шагом является вычисление углового коэффициента \(k\). Используя формулу \(k = \tan \alpha\), подставляем значение угла: \(k = \tan 120^\circ\). Известно, что тангенс \(120^\circ\) равен \(-\sqrt{3}\). Следовательно, угловой коэффициент \(k = -\sqrt{3}\).
Затем переходим к нахождению значения свободного члена \(b\). Подставляем известные координаты точки \(x_0 = 2\), \(y_0 = 6\) и найденный угловой коэффициент \(k = -\sqrt{3}\) в общее уравнение прямой \(y = kx + b\). Получаем уравнение \(6 = (-\sqrt{3}) \cdot 2 + b\).
Упрощаем это уравнение: \(6 = -2\sqrt{3} + b\). Чтобы найти \(b\), прибавляем \(2\sqrt{3}\) к обеим частям уравнения: \(b = 6 + 2\sqrt{3}\).
В завершение, записываем окончательное уравнение прямой, подставляя найденные значения \(k\) и \(b\) в формулу \(y = kx + b\). Таким образом, уравнение прямой для второго случая будет \(y = -\sqrt{3}x + (6 + 2\sqrt{3})\), или, переставляя члены для ясности, \(y = -x\sqrt{3} + 6 + 2\sqrt{3}\).
