ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 398 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Определите, параллельны ли прямые:

1) \(2x — 5y = 9\) и \(5y — 2x = 1\);

2) \(8x + 12y = 15\) и \(4x + 6y = 9\);

3) \(7x — 2y = 12\) и \(7x — 3y = 12\);

4) \(3x + 2y = 3\) и \(6x + 4y = 6\).

1) \(2x — 5y = 9\), \(5y — 2x = 1\)
\(5y = 2x — 9\), \(5y = 2x + 1\)
\(y = \frac{2}{5}x — \frac{9}{5}\), \(y = \frac{2}{5}x + \frac{1}{5}\)
Угловые коэффициенты равны: \(\frac{2}{5} = \frac{2}{5}\).
Да.

2) \(8x + 12y = 15\), \(4x + 6y = 9\)
\(12y = -8x + 15\), \(6y = -4x + 9\)
\(y = -\frac{8}{12}x + \frac{15}{12}\), \(y = -\frac{4}{6}x + \frac{9}{6}\)
\(y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{4}\), \(y = -\frac{2}{3}x + \frac{3}{2}\)
Угловые коэффициенты равны: \(-\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}\).
Да.

3) \(7x — 2y = 12\), \(7x — 3y = 12\)
\(2y = 7x — 12\), \(3y = 7x — 12\)
\(y = \frac{7}{2}x — \frac{12}{2}\), \(y = \frac{7}{3}x — \frac{12}{3}\)
\(y = \frac{7}{2}x — 6\), \(y = \frac{7}{3}x — 4\)
Угловые коэффициенты не равны: \(\frac{7}{2} \neq \frac{7}{3}\).
Нет.

4) \(3x + 2y = 3\), \(6x + 4y = 6\)
\(2y = 3 — 3x\), \(4y = 6 — 6x\)
\(y = \frac{3}{2} — \frac{3}{2}x\), \(y = \frac{6}{4} — \frac{6}{4}x\)
\(y = \frac{3}{2} — \frac{3}{2}x\), \(y = \frac{3}{2} — \frac{3}{2}x\)
Угловые коэффициенты равны, но прямые совпадают.
Нет.

Определим, параллельны ли прямые, исследуя их угловые коэффициенты. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, то есть коэффициенты при \(x\) в уравнении \(y = kx + b\) совпадают.

1) Рассмотрим первые уравнения: \(2x — 5y = 9\) и \(5y — 2x = 1\).

Перепишем первое уравнение в виде \(y = kx + b\):

\(2x — 5y = 9 \Rightarrow -5y = 9 — 2x \Rightarrow y = \frac{2}{5}x — \frac{9}{5}\).

Второе уравнение: \(5y — 2x = 1 \Rightarrow 5y = 2x + 1 \Rightarrow y = \frac{2}{5}x + \frac{1}{5}\).

Угловые коэффициенты обеих прямых равны \(\frac{2}{5}\), значит прямые параллельны. Параллельность здесь очевидна, так как наклонные углы одинаковы, хотя пересечения с осью \(y\) различны.

2) Второй пример: \(8x + 12y = 15\) и \(4x + 6y = 9\).

Выразим \(y\) из первого уравнения:

\(12y = -8x + 15 \Rightarrow y = -\frac{8}{12}x + \frac{15}{12} = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{4}\).

Из второго уравнения:

\(6y = -4x + 9 \Rightarrow y = -\frac{4}{6}x + \frac{9}{6} = -\frac{2}{3}x + \frac{3}{2}\).

Угловые коэффициенты равны \(-\frac{2}{3}\), значит прямые параллельны. Несмотря на разные свободные члены, наклоны совпадают, следовательно, прямые не пересекаются и параллельны.

3) Третий пример: \(7x — 2y = 12\) и \(7x — 3y = 12\).

Первое уравнение:

\(-2y = 12 — 7x \Rightarrow y = \frac{7}{2}x — 6\).

Второе уравнение:

\(-3y = 12 — 7x \Rightarrow y = \frac{7}{3}x — 4\).

Угловые коэффициенты \(\frac{7}{2}\) и \(\frac{7}{3}\) не равны, следовательно, прямые не параллельны. Они имеют разные наклоны, значит пересекаются под некоторым углом.

4) Четвёртый пример: \(3x + 2y = 3\) и \(6x + 4y = 6\).

Первое уравнение:

\(2y = 3 — 3x \Rightarrow y = \frac{3}{2} — \frac{3}{2}x\).

Второе уравнение:

\(4y = 6 — 6x \Rightarrow y = \frac{6}{4} — \frac{6}{4}x = \frac{3}{2} — \frac{3}{2}x\).

Здесь угловые коэффициенты и свободные члены совпадают, то есть уравнения описывают одну и ту же прямую. Прямые не просто параллельны, а совпадают. Поэтому ответ: они не параллельны, а совпадают.

Итог: для проверки параллельности необходимо привести уравнения к виду \(y = kx + b\) и сравнить коэффициенты \(k\). Если \(k\) равны, а \(b\) различны — прямые параллельны. Если и \(b\) совпадают — прямые совпадают. Если \(k\) различны — прямые не параллельны.