ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 399 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что прямые \(7x — 6y = 3\) и \(6y — 7x = 6\) параллельны.
Чтобы доказать, что прямые \(7x — 6y = 3\) и \(6y — 7x = 6\) параллельны, приведем их уравнения к виду \(y = mx + b\).
Первая прямая:
Из \(7x — 6y = 3\) получаем \(-6y = 3 — 7x\).
Разделим обе части на \(-6\): \(y = \frac{3}{-6} — \frac{7x}{-6}\), что упрощается до \(y = -\frac{1}{2} + \frac{7}{6}x\).
Перепишем в стандартном виде: \(y = \frac{7}{6}x — \frac{1}{2}\).
Здесь угловой коэффициент \(m_1 = \frac{7}{6}\), а свободный член \(b_1 = -\frac{1}{2}\).
Вторая прямая:
Из \(6y — 7x = 6\) получаем \(6y = 6 + 7x\).
Разделим обе части на \(6\): \(y = \frac{6}{6} + \frac{7x}{6}\), что упрощается до \(y = 1 + \frac{7}{6}x\).
Перепишем в стандартном виде: \(y = \frac{7}{6}x + 1\).
Здесь угловой коэффициент \(m_2 = \frac{7}{6}\), а свободный член \(b_2 = 1\).
Сравниваем угловые коэффициенты: \(m_1 = \frac{7}{6}\) и \(m_2 = \frac{7}{6}\). Они равны.
Сравниваем свободные члены: \(b_1 = -\frac{1}{2}\) и \(b_2 = 1\). Они различны.
Так как угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны, прямые параллельны.
Для того чтобы определить, являются ли две прямые параллельными, необходимо привести их уравнения к общему виду линейной функции \(y = mx + b\), где \(m\) представляет собой угловой коэффициент (или наклон прямой), а \(b\) — свободный член, который указывает на точку пересечения прямой с осью \(y\). Если угловые коэффициенты двух прямых равны, то эти прямые либо параллельны, либо совпадают. Если же при равных угловых коэффициентах свободные члены различны, то прямые являются строго параллельными и не имеют общих точек.
Рассмотрим первое уравнение прямой: \(7x — 6y = 3\). Наша цель — выразить \(y\) через \(x\). Для этого сначала перенесем член, содержащий \(x\), в правую часть уравнения. Вычитаем \(7x\) из обеих частей уравнения: \(-6y = 3 — 7x\). Теперь, чтобы получить \(y\) в чистом виде, необходимо разделить обе части уравнения на коэффициент при \(y\), то есть на \(-6\). Получаем: \(y = \frac{3}{-6} — \frac{7x}{-6}\). Упростим каждую дробь. Дробь \(\frac{3}{-6}\) упрощается до \(-\frac{1}{2}\). Дробь \(\frac{7x}{-6}\) можно записать как \(-\frac{7}{6}x\), но поскольку мы делим на отрицательное число, знак изменится, и она станет \(+\frac{7}{6}x\). Таким образом, уравнение первой прямой принимает вид: \(y = -\frac{1}{2} + \frac{7}{6}x\). Для удобства сравнения перепишем его в стандартном виде \(y = mx + b\): \(y = \frac{7}{6}x — \frac{1}{2}\). Из этого уравнения мы видим, что угловой коэффициент первой прямой \(m_1 = \frac{7}{6}\), а свободный член \(b_1 = -\frac{1}{2}\).
Теперь перейдем ко второму уравнению прямой: \(6y — 7x = 6\). Аналогично, выразим \(y\) через \(x\). Сначала перенесем член, содержащий \(x\), в правую часть уравнения. Прибавляем \(7x\) к обеим частям уравнения: \(6y = 6 + 7x\). Далее, чтобы найти \(y\), разделим обе части уравнения на коэффициент при \(y\), то есть на \(6\). Получаем: \(y = \frac{6}{6} + \frac{7x}{6}\). Упростим каждую дробь. Дробь \(\frac{6}{6}\) равна \(1\). Дробь \(\frac{7x}{6}\) остается \(\frac{7}{6}x\). Таким образом, уравнение второй прямой принимает вид: \(y = 1 + \frac{7}{6}x\). Перепишем его в стандартном виде \(y = mx + b\): \(y = \frac{7}{6}x + 1\). Из этого уравнения мы определяем, что угловой коэффициент второй прямой \(m_2 = \frac{7}{6}\), а свободный член \(b_2 = 1\).
На заключительном этапе сравним полученные угловые коэффициенты и свободные члены обеих прямых. Угловой коэффициент первой прямой \(m_1 = \frac{7}{6}\), а угловой коэффициент второй прямой \(m_2 = \frac{7}{6}\). Мы видим, что угловые коэффициенты равны: \(m_1 = m_2\). Теперь сравним свободные члены: свободный член первой прямой \(b_1 = -\frac{1}{2}\), а свободный член второй прямой \(b_2 = 1\). Очевидно, что свободные члены различны: \(b_1 \neq b_2\). Поскольку угловые коэффициенты обеих прямых равны, а их свободные члены различны, это однозначно указывает на то, что данные прямые параллельны и не совпадают.
