ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 40 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle C = 90^\circ\), \(AC = 20\) см, \(BC = 15\) см. На стороне \(AB\) отметили точку \(M\) так, что \(BM = 4\) см. Найдите отрезок \(CM\).

Краткий ответ:

В треугольнике \(ABC\) с прямым углом при \(C\) по теореме Пифагора \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\) см. Точка \(M\) на \(AB\) так, что \(BM = 4\) см, значит \(AM = 25 — 4 = 21\) см. Пусть \(C\) в начале координат, \(A = (20,0)\), \(B = (0,15)\). Координаты \(M\) на отрезке \(AB\) найдём по формуле \(M = A + t(B — A) = (20 — 20t, 15t)\). Расстояние \(BM = 4\) равно \(25|1 — t|\), отсюда \(1 — t = \frac{4}{25} = 0.16\), значит \(t = 0.84\). Тогда \(M = (20 — 20 \times 0.84, 15 \times 0.84) = (3.2, 12.6)\). Длина \(CM = \sqrt{3.2^2 + 12.6^2} = \sqrt{10.24 + 158.76} = \sqrt{169} = 13\) см. Ответ: \(CM = 13\) см.

Подробный ответ:

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, значит по теореме Пифагора \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}\). Подставляем значения: \(AB = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\) см.

Точка \(M\) лежит на стороне \(AB\), и известно, что \(BM = 4\) см. Тогда длина отрезка \(AM = AB — BM = 25 — 4 = 21\) см.

Для удобства введём координатную систему. Пусть точка \(C\) находится в начале координат \((0,0)\), точка \(A\) на оси \(x\) с координатами \((20,0)\), а точка \(B\) на оси \(y\) с координатами \((0,15)\).

Точка \(M\) лежит на отрезке \(AB\), координаты которой можно выразить через параметр \(t\): \(M = A + t(B — A) = (20,0) + t((0,15) — (20,0)) = (20 — 20t, 15t)\).

Длина отрезка \(AB\) равна 25, а расстояние от \(B\) до \(M\) равно 4. Расстояние \(BM\) через координаты \(M\) и \(B\) равно \(\sqrt{(0 — (20 — 20t))^2 + (15 — 15t)^2} = \sqrt{(20 — 20t)^2 + (15 — 15t)^2}\).

Вынесем общий множитель: \(\sqrt{400(1 — t)^2 + 225(1 — t)^2} = \sqrt{625(1 — t)^2} = 25|1 — t|\).

Так как \(BM = 4\), имеем уравнение \(4 = 25|1 — t|\), откуда \(|1 — t| = \frac{4}{25} = 0.16\).

Поскольку \(M\) ближе к \(B\), параметр \(t = 1 — 0.16 = 0.84\).

Подставим \(t\) в координаты \(M\): \(M = (20 — 20 \times 0.84, 15 \times 0.84) = (3.2, 12.6)\).

Найдем длину отрезка \(CM\): \(CM = \sqrt{(3.2 — 0)^2 + (12.6 — 0)^2} = \sqrt{3.2^2 + 12.6^2} = \sqrt{10.24 + 158.76} =\)
\(= \sqrt{169} = 13\) см.

Ответ: \(CM = 13\) см.

Оцени решение