ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 402 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1) Составьте уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой \(y = -x + 3\) и проходит через точку А (1; 5).

2) Докажите, что прямые \(y = k_1x + b_1\) и \(y = k_2x + b_2\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(k_1k_2 = -1\).

1) Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой \(y = -x + 3\) и проходящей через точку \(A(1; 5)\).

Угловой коэффициент данной прямой \(k_1 = -1\).
Для перпендикулярных прямых произведение угловых коэффициентов равно \(-1\), то есть \(k_1 \cdot k_2 = -1\).
Подставим \(k_1 = -1\): \((-1) \cdot k_2 = -1\), откуда \(k_2 = 1\).
Используем уравнение прямой, проходящей через точку \((x_1; y_1)\) с угловым коэффициентом \(k\): \(y — y_1 = k(x — x_1)\).
Подставим \(x_1 = 1\), \(y_1 = 5\) и \(k = 1\):
\(y — 5 = 1(x — 1)\)
\(y — 5 = x — 1\)
\(y = x — 1 + 5\)
\(y = x + 4\)

2) Доказательство того, что прямые \(y = k_1x + b_1\) и \(y = k_2x + b_2\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(k_1k_2 = -1\).

Пусть \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) — углы, которые прямые образуют с положительным направлением оси X. Тогда \(k_1 = \tan(\alpha_1)\) и \(k_2 = \tan(\alpha_2)\).

Если прямые перпендикулярны, то угол между ними \(90^\circ\). Значит, \(\alpha_1 = \alpha_2 + 90^\circ\).
Тогда \(k_1 = \tan(\alpha_2 + 90^\circ)\).
Используя тригонометрическое тождество \(\tan(x + 90^\circ) = -\cot(x)\), получаем \(k_1 = -\cot(\alpha_2)\).
Так как \(\cot(\alpha_2) = \frac{1}{\tan(\alpha_2)}\), то \(k_1 = -\frac{1}{\tan(\alpha_2)}\).
Заменяя \(\tan(\alpha_2)\) на \(k_2\), получаем \(k_1 = -\frac{1}{k_2}\).
Умножая обе части на \(k_2\), получаем \(k_1k_2 = -1\).

Обратно, если \(k_1k_2 = -1\), то \(k_1 = -\frac{1}{k_2}\).
Подставим \(k_1 = \tan(\alpha_1)\) и \(k_2 = \tan(\alpha_2)\): \(\tan(\alpha_1) = -\frac{1}{\tan(\alpha_2)}\).
Так как \(\frac{1}{\tan(\alpha_2)} = \cot(\alpha_2)\), то \(\tan(\alpha_1) = -\cot(\alpha_2)\).
Мы знаем, что \(-\cot(\alpha_2) = \tan(\alpha_2 + 90^\circ)\).
Следовательно, \(\tan(\alpha_1) = \tan(\alpha_2 + 90^\circ)\).
Это означает, что \(\alpha_1 = \alpha_2 + 90^\circ + n \cdot 180^\circ\), где \(n\) — целое число.
Разность углов \(\alpha_1 — \alpha_2 = 90^\circ\), что соответствует перпендикулярности прямых.

1) Уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой \(y = -x + 3\) и проходит через точку \(A(1; 5)\).

Сначала определим угловой коэффициент \(k_1\) данной прямой. Уравнение прямой в общем виде \(y = kx + b\), где \(k\) — это угловой коэффициент. Для прямой \(y = -x + 3\) угловой коэффициент \(k_1\) равен \(-1\).

Далее, вспомним условие перпендикулярности двух прямых. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно \(-1\). То есть, если \(k_1\) и \(k_2\) — угловые коэффициенты перпендикулярных прямых, то \(k_1 \cdot k_2 = -1\).

Подставим значение \(k_1 = -1\) в это условие: \((-1) \cdot k_2 = -1\). Решая это уравнение относительно \(k_2\), получаем \(k_2 = \frac{-1}{-1} = 1\). Таким образом, угловой коэффициент искомой прямой равен \(1\).

Теперь, зная угловой коэффициент \(k = 1\) и точку \(A(1; 5)\), через которую проходит искомая прямая, мы можем использовать уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту. Это уравнение имеет вид \(y — y_1 = k(x — x_1)\), где \((x_1; y_1)\) — координаты известной точки, а \(k\) — угловой коэффициент.

Подставим значения \(x_1 = 1\), \(y_1 = 5\) и \(k = 1\) в уравнение:
\(y — 5 = 1(x — 1)\).

Раскроем скобки в правой части уравнения:
\(y — 5 = x — 1\).

Чтобы привести уравнение к стандартному виду \(y = kx + b\), перенесем \(-5\) из левой части в правую, изменив знак:
\(y = x — 1 + 5\).

Выполним сложение в правой части:
\(y = x + 4\).
Это и есть уравнение искомой прямой.

2) Доказательство того, что прямые \(y = k_1x + b_1\) и \(y = k_2x + b_2\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(k_1k_2 = -1\).

Доказательство состоит из двух частей: «необходимость» (если прямые перпендикулярны, то \(k_1k_2 = -1\)) и «достаточность» (если \(k_1k_2 = -1\), то прямые перпендикулярны).

**Часть 1: Если прямые перпендикулярны, то \(k_1k_2 = -1\).**
Пусть \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) — это углы, которые прямые \(y = k_1x + b_1\) и \(y = k_2x + b_2\) соответственно образуют с положительным направлением оси X. По определению углового коэффициента, \(k_1 = \tan(\alpha_1)\) и \(k_2 = \tan(\alpha_2)\).
Если прямые перпендикулярны, это означает, что угол между ними составляет \(90^\circ\). Следовательно, один из углов может быть выражен через другой как \(\alpha_1 = \alpha_2 + 90^\circ\) (или \(\alpha_2 = \alpha_1 + 90^\circ\)). Без потери общности, примем \(\alpha_1 = \alpha_2 + 90^\circ\).
Теперь подставим это выражение для \(\alpha_1\) в формулу для \(k_1\):
\(k_1 = \tan(\alpha_2 + 90^\circ)\).
Используя тригонометрическое тождество \(\tan(x + 90^\circ) = -\cot(x)\), мы можем переписать выражение для \(k_1\) как:
\(k_1 = -\cot(\alpha_2)\).
Далее, мы знаем, что котангенс угла является обратной величиной тангенса этого угла, то есть \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\). Применяя это к \(\cot(\alpha_2)\), получаем:
\(k_1 = -\frac{1}{\tan(\alpha_2)}\).
Поскольку \(k_2 = \tan(\alpha_2)\), мы можем заменить \(\tan(\alpha_2)\) на \(k_2\) в уравнении:
\(k_1 = -\frac{1}{k_2}\).
Умножим обе части этого уравнения на \(k_2\) (предполагая, что \(k_2 \neq 0\), так как если \(k_2 = 0\), то прямая горизонтальна, и перпендикулярная ей прямая будет вертикальной с неопределенным угловым коэффициентом, что является особым случаем, не входящим в данное доказательство, которое подразумевает наличие определенных угловых коэффициентов):
\(k_1k_2 = -1\).
Таким образом, мы доказали, что если две прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно \(-1\).

**Часть 2: Если \(k_1k_2 = -1\), то прямые перпендикулярны.**
Предположим, что произведение угловых коэффициентов двух прямых равно \(-1\), то есть \(k_1k_2 = -1\).
Это уравнение можно переписать как \(k_1 = -\frac{1}{k_2}\).
Теперь подставим определения угловых коэффициентов через тангенсы углов: \(k_1 = \tan(\alpha_1)\) и \(k_2 = \tan(\alpha_2)\).
Получаем: \(\tan(\alpha_1) = -\frac{1}{\tan(\alpha_2)}\).
Мы знаем, что \(\frac{1}{\tan(\alpha_2)} = \cot(\alpha_2)\). Поэтому:
\(\tan(\alpha_1) = -\cot(\alpha_2)\).
Используя тригонометрическое тождество \(-\cot(x) = \tan(x + 90^\circ)\), мы можем заменить правую часть уравнения:
\(\tan(\alpha_1) = \tan(\alpha_2 + 90^\circ)\).
Если тангенсы двух углов равны, то сами углы отличаются на целое число, умноженное на \(180^\circ\). То есть, \(\alpha_1 = \alpha_2 + 90^\circ + n \cdot 180^\circ\), где \(n\) — некоторое целое число.
Это означает, что разность углов \(\alpha_1 — \alpha_2 = 90^\circ + n \cdot 180^\circ\). Угол между двумя прямыми определяется как наименьший положительный угол между ними. Если разность углов составляет \(90^\circ\) (или \(270^\circ\), что эквивалентно \(90^\circ\) для направления), то прямые перпендикулярны.
Следовательно, если \(k_1k_2 = -1\), то прямые перпендикулярны.

Обе части доказательства выполнены, что подтверждает утверждение: прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно \(-1\).