ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 403 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В выпуклом четырёхугольнике ABCD биссектрисы углов А и В пересекаются в точке О (рис. 84). Докажите, что угол АОВ равен полусумме углов С и D.

1. Сумма углов четырехугольника \(ABCD\) равна \(360^\circ\). Значит, \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\). Отсюда \(\angle C + \angle D = 360^\circ — (\angle A + \angle B)\).
2. Так как \(AO\) и \(BO\) — биссектрисы углов \(A\) и \(B\), то \(\angle BAO = \frac{1}{2}\angle A\) и \(\angle ABO = \frac{1}{2}\angle B\).
3. В треугольнике \(AOB\) сумма углов равна \(180^\circ\). Следовательно, \(\angle AOB = 180^\circ — (\angle BAO + \angle ABO)\).
4. Подставляем значения биссектрис: \(\angle AOB = 180^\circ — (\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B) = 180^\circ — \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)\).
5. Теперь подставим выражение для \((\angle A + \angle B)\) из пункта 1: \(\angle AOB = 180^\circ — \frac{1}{2}(360^\circ — (\angle C + \angle D))\).
6. Раскрываем скобки: \(\angle AOB = 180^\circ — 180^\circ + \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)\).
7. Окончательно получаем: \(\angle AOB = \frac{\angle C + \angle D}{2}\). Что и требовалось доказать.

Рассмотрим четырёхугольник \(ABCD\). Известно, что сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника всегда составляет \(360^\circ\). Таким образом, мы можем записать фундаментальное равенство для углов данного четырёхугольника: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\). Из этого равенства мы можем выразить сумму углов \(C\) и \(D\) через сумму углов \(A\) и \(B\), что будет полезно на последующих этапах доказательства. Перенося \(\angle A\) и \(\angle B\) в правую часть уравнения, получаем: \(\angle C + \angle D = 360^\circ — (\angle A + \angle B)\). Это уравнение будет использовано далее.

Теперь обратимся к треугольнику \(AOB\). Сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна \(180^\circ\). Применяя это правило к треугольнику \(AOB\), мы можем записать следующее соотношение между его углами: \(\angle AOB + \angle BAO + \angle ABO = 180^\circ\). Наша цель — найти выражение для \(\angle AOB\), поэтому мы можем выразить его из этого уравнения: \(\angle AOB = 180^\circ — (\angle BAO + \angle ABO)\).

В условии задачи сказано, что \(AO\) является биссектрисой угла \(A\). По определению биссектриса делит угол пополам. Следовательно, угол \(\angle BAO\) равен половине угла \(A\), то есть \(\angle BAO = \frac{1}{2}\angle A\). Аналогично, \(BO\) является биссектрисой угла \(B\). Это означает, что угол \(\angle ABO\) равен половине угла \(B\), то есть \(\angle ABO = \frac{1}{2}\angle B\).

Теперь мы можем подставить эти выражения для \(\angle BAO\) и \(\angle ABO\) в уравнение для \(\angle AOB\), которое мы получили из рассмотрения треугольника \(AOB\). Выполняя подстановку, получаем: \(\angle AOB = 180^\circ — \left(\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B\right)\). Для упрощения этого выражения мы можем вынести общий множитель \(\frac{1}{2}\) за скобки: \(\angle AOB = 180^\circ — \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)\).

На предыдущем шаге мы выразили \(\angle C + \angle D\) через \(\angle A + \angle B\). Теперь мы можем использовать это соотношение, чтобы заменить сумму \(\angle A + \angle B\) в нашем выражении для \(\angle AOB\). Из первого пункта мы знаем, что \(\angle A + \angle B = 360^\circ — (\angle C + \angle D)\). Подставляем это выражение в уравнение для \(\angle AOB\): \(\angle AOB = 180^\circ — \frac{1}{2}(360^\circ — (\angle C + \angle D))\).

Теперь необходимо раскрыть скобки и выполнить арифметические действия. Умножаем \(\frac{1}{2}\) на каждый член в скобках: \(\angle AOB = 180^\circ — \left(\frac{1}{2} \cdot 360^\circ — \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)\right)\). Выполняем умножение: \(\angle AOB = 180^\circ — \left(180^\circ — \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)\right)\). Теперь раскрываем скобки, меняя знаки внутри них, так как перед скобками стоит минус: \(\angle AOB = 180^\circ — 180^\circ + \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)\).

Наконец, мы видим, что \(180^\circ\) и \(-180^\circ\) взаимно уничтожаются. В результате остаётся только член с \(\angle C\) и \(\angle D\): \(\angle AOB = \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)\). Это можно также записать как \(\angle AOB = \frac{\angle C + \angle D}{2}\). Таким образом, мы доказали, что угол \(\angle AOB\) равен полусумме углов \(\angle C\) и \(\angle D\), что и требовалось доказать.