ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 404 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба на отрезки 7 см и 18 см, считая от вершины острого угла. Найдите диагонали ромба.
Сторона ромба \(AD = AH + DH = 7 + 18 = 25\) см.
В прямоугольном треугольнике ABH, высота \(BH = \sqrt{AB^2 — AH^2} = \sqrt{25^2 — 7^2} = \sqrt{625 — 49} = \sqrt{576} = 24\) см.
В прямоугольном треугольнике DBH, диагональ \(BD = \sqrt{BH^2 + DH^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30\) см.
Используя формулу площади ромба \(S_{ABCD} = AD \cdot BH = \frac{1}{2} AC \cdot BD\), найдем вторую диагональ: \(AC = \frac{2 \cdot AD \cdot BH}{BD} = \frac{2 \cdot 25 \cdot 24}{30} = \frac{1200}{30} = 40\) см.
30 см; 40 см.
Сначала определим длину стороны ромба. Поскольку ABCD является ромбом, все его стороны равны. Сторона AD состоит из отрезков AH и DH, поэтому ее длина будет равна сумме длин этих отрезков. Таким образом, \(AD = AH + DH = 7 + 18 = 25\) см. Следовательно, каждая сторона ромба, включая AB, BC, CD и DA, имеет длину 25 см.
Далее, рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол при вершине H является прямым, поскольку BH является высотой, опущенной на сторону AD. В этом треугольнике нам известна гипотенуза AB, которая равна 25 см (сторона ромба), и катет AH, который равен 7 см. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину второго катета BH, который является высотой ромба. По теореме Пифагора \(BH^2 = AB^2 — AH^2\). Подставляя известные значения, получаем \(BH^2 = 25^2 — 7^2 = 625 — 49 = 576\). Извлекая квадратный корень, находим \(BH = \sqrt{576} = 24\) см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DBH. Угол при вершине H также является прямым. В этом треугольнике нам известны оба катета: BH, который мы только что нашли и который равен 24 см, и DH, который дан в условии и равен 18 см. Мы можем найти длину гипотенузы DB, которая является одной из диагоналей ромба, используя теорему Пифагора. По теореме Пифагора \(BD^2 = BH^2 + DH^2\). Подставляя значения, получаем \(BD^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900\). Извлекая квадратный корень, находим \(BD = \sqrt{900} = 30\) см.
Для нахождения второй диагонали AC воспользуемся формулой площади ромба. Площадь ромба может быть вычислена двумя способами: как произведение стороны на высоту, или как половина произведения его диагоналей. Таким образом, \(S_{ABCD} = AD \cdot BH\) и \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD\). Приравнивая эти два выражения для площади, получаем \(AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD\). Теперь выразим AC из этого уравнения: \(AC = \frac{2 \cdot AD \cdot BH}{BD}\). Подставим известные значения: \(AC = \frac{2 \cdot 25 \cdot 24}{30} = \frac{1200}{30} = 40\) см.
30 см; 40 см.
