ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 405 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Медианы равнобедренного треугольника равны 15 см, 15 см и 18 см. Найдите площадь треугольника.

Краткий ответ:

Так как \(AA_1 = CC_1\), то треугольник \(ABC\) равнобедренный с \(AB = BC\). Медианы треугольника пересекаются в точке \(O\), которая делит их в отношении \(2:1\), считая от вершины. Тогда \(OB_1 = \frac{1}{3}BB_1 = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6\) см, и \(AO = \frac{2}{3}AA_1 = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10\) см. В равнобедренном треугольнике медиана \(BB_1\), проведенная к основанию, является также высотой, поэтому треугольник \(AOB_1\) прямоугольный с прямым углом при \(B_1\). По теореме Пифагора в треугольнике \(AOB_1\) находим \(AB_1 = \sqrt{AO^2 — OB_1^2} = \sqrt{10^2 — 6^2} = \sqrt{100 — 36} = \sqrt{64} = 8\) см. Поскольку \(B_1\) — середина \(AC\), то \(AC = 2 \cdot AB_1 = 2 \cdot 8 = 16\) см. Площадь треугольника \(ABC\) вычисляется по формуле \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 18 = 8 \cdot 18 = 144\) см\(^2\).

Подробный ответ:

Поскольку медианы \(AA_1\) и \(CC_1\) равны (\(15\) см), это означает, что треугольник \(ABC\) является равнобедренным с равными сторонами \(AB\) и \(BC\). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой и биссектрисой. В данном случае медиана \(BB_1\) проведена к основанию \(AC\), следовательно, \(BB_1\) перпендикулярна \(AC\), и угол \(\angle AB_1B\) равен \(90^\circ\).

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которую мы обозначим как \(O\). Эта точка делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Используя это свойство для медианы \(BB_1\), которая равна \(18\) см, мы можем найти длину отрезка \(OB_1\): \(OB_1 = \frac{1}{3} \cdot BB_1 = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6\) см. Аналогично, для медианы \(AA_1\), равной \(15\) см, мы можем найти длину отрезка \(AO\): \(AO = \frac{2}{3} \cdot AA_1 = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10\) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(AOB_1\). В этом треугольнике \(AO\) является гипотенузой, а \(OB_1\) и \(AB_1\) являются катетами. Мы знаем длины \(AO = 10\) см и \(OB_1 = 6\) см. Применяя теорему Пифагора \(AB_1^2 + OB_1^2 = AO^2\), мы можем найти длину катета \(AB_1\): \(AB_1^2 + 6^2 = 10^2\). Это дает \(AB_1^2 + 36 = 100\), откуда \(AB_1^2 = 100 — 36 = 64\). Извлекая квадратный корень, получаем \(AB_1 = \sqrt{64} = 8\) см.

Поскольку \(BB_1\) является медианой, точка \(B_1\) делит сторону \(AC\) пополам. Следовательно, длина стороны \(AC\) равна удвоенной длине \(AB_1\): \(AC = 2 \cdot AB_1 = 2 \cdot 8 = 16\) см.

Наконец, чтобы найти площадь треугольника \(ABC\), мы можем использовать формулу площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\). В данном случае, \(AC\) является основанием (\(16\) см), а \(BB_1\) является соответствующей высотой (\(18\) см). Подставляя эти значения в формулу, получаем: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 18\). Выполняя умножение, находим \(S_{ABC} = 8 \cdot 18 = 144\) см\(^2\).

Оцени решение