ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 407 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Катер из точки А переместился на север на 40 км в точку В, а затем на запад на 60 км из точки В в точку С. Выбрав масштаб, начертите векторы, изображающие перемещения из точки А в точку В, из точки В в точку С, из точки А в точку С.

Выбираем масштаб 1 клетка = 10 км. Из точки А откладываем 4 клетки вверх до точки В, получаем вектор \(\vec{AB}\). Из точки В откладываем 6 клеток влево до точки С, получаем вектор \(\vec{BC}\). Соединяем точку А с точкой С, получаем вектор \(\vec{AC}\). Длина вектора \(\vec{AC}\) вычисляется по теореме Пифагора: \(|\vec{AC}|^2 = 40^2 + 60^2 = 1600 + 3600 = 5200\). Следовательно, \(|\vec{AC}| = \sqrt{5200} = 20\sqrt{13}\) км.

Для решения данной задачи мы можем представить перемещения катера как векторы на координатной плоскости. Предположим, что начальная точка А находится в начале координат.

Первое перемещение катера составляет 40 км на север. Если мы ориентируем ось Y на север, а ось X на восток, то это перемещение можно представить вектором \(\vec{AB}\), который имеет компоненты \((0, 40)\). Таким образом, катер перемещается из точки А \((0, 0)\) в точку В \((0, 40)\).

Второе перемещение катера составляет 60 км на запад. Поскольку запад перпендикулярен северу, это перемещение будет направлено вдоль отрицательной оси X. Это перемещение можно представить вектором \(\vec{BC}\), который имеет компоненты \((-60, 0)\). Катер перемещается из точки В \((0, 40)\) в точку С \((0 — 60, 40 + 0)\), что дает координаты точки С \((-60, 40)\).

Общее перемещение катера от начальной точки А до конечной точки С представлено вектором \(\vec{AC}\). Координаты вектора \(\vec{AC}\) можно найти, вычитая координаты начальной точки А из координат конечной точки С: \((-60 — 0, 40 — 0)\), что дает \((-60, 40)\).

Для того чтобы найти расстояние от начальной точки до конечной точки, нам нужно найти модуль (длину) вектора \(\vec{AC}\). Это можно сделать, используя теорему Пифагора, так как перемещения на север и на запад перпендикулярны друг другу, образуя прямоугольный треугольник. Катеты этого треугольника имеют длины 40 км (северное перемещение) и 60 км (западное перемещение). Гипотенуза этого треугольника будет представлять собой искомое расстояние.

Применяем теорему Пифагора: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
\(|\vec{AC}|^2 = (\text{перемещение на запад})^2 + (\text{перемещение на север})^2\)
\(|\vec{AC}|^2 = (-60)^2 + (40)^2\)
\(|\vec{AC}|^2 = 3600 + 1600\)
\(|\vec{AC}|^2 = 5200\)

Теперь, чтобы найти само расстояние, извлечем квадратный корень из полученного значения:
\(|\vec{AC}| = \sqrt{5200}\)

Для упрощения квадратного корня, разложим число 5200 на множители:
\(5200 = 52 \times 100\)
\(52 = 4 \times 13\)
Таким образом, \(5200 = 4 \times 13 \times 100\).
Теперь подставим это в выражение для корня:
\(|\vec{AC}| = \sqrt{4 \times 13 \times 100}\)
Мы можем извлечь квадратные корни из 4 и 100:
\(|\vec{AC}| = \sqrt{4} \times \sqrt{100} \times \sqrt{13}\)
\(|\vec{AC}| = 2 \times 10 \times \sqrt{13}\)
\(|\vec{AC}| = 20\sqrt{13}\) км.