ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 41 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На продолжении гипотенузы \(AB\) прямоугольного равнобедренного треугольника \(ABC\) за точку \(B\) отметили точку \(D\) так, что \(BD = BC\). Найдите отрезок \(CD\), если катет треугольника \(ABC\) равен \(a\).

Пусть \(C = (0; 0)\), \(A = (a; 0)\), \(B = (0; a)\). Тогда вектор \(AB = (-a; a)\).

Точка \(D\) лежит на продолжении \(AB\) за \(B\), значит \(D = B + t \cdot AB = (-a t; a + a t)\).

По условию \(BD = BC = a\), тогда длина \(BD = a t \sqrt{2} = a\), откуда \(t = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Координаты \(D\): \(\left(-\frac{a}{\sqrt{2}}; a \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)\).

Длина \(CD = \sqrt{\left(-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(a \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)^2} = a \sqrt{\frac{1}{2} + \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}\).

Вычисляем квадрат: \(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1 + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} = 1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \sqrt{2}\).

Подставляем: \(CD = a \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \sqrt{2}} = a \sqrt{2 + \sqrt{2}}\).

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник \(ABC\) с катетами длиной \(a\). Для удобства введём систему координат так, чтобы точка \(C\) находилась в начале координат, то есть \(C = (0; 0)\). Поскольку треугольник прямоугольный с равными катетами, расположим точку \(A\) на оси \(x\) в точке \(A = (a; 0)\), а точку \(B\) на оси \(y\) в точке \(B = (0; a)\). Таким образом, сторона \(AB\) — гипотенуза треугольника, направленная из точки \(A\) в точку \(B\).

Вектор, направленный от \(A\) к \(B\), вычисляется как разность координат: \(AB = B — A = (0 — a; a — 0) = (-a; a)\). Точка \(D\) лежит на продолжении отрезка \(AB\) за точку \(B\), то есть если двигаться от \(A\) к \(B\), то \(D\) находится дальше точки \(B\) по тому же направлению. Координаты точки \(D\) можно выразить через параметр \(t > 0\) как \(D = B + t \cdot AB = (0; a) + t(-a; a) = (-a t; a + a t)\). Параметр \(t\) показывает, насколько далеко от точки \(B\) вдоль вектора \(AB\) находится точка \(D\).

По условию задачи длина отрезка \(BD\) равна длине катета \(BC\), то есть \(BD = BC = a\). Найдём длину \(BD\) через координаты точек \(B\) и \(D\). Вектор \(BD = D — B = (-a t — 0; a + a t — a) = (-a t; a t)\). Длина этого вектора равна \(BD = \sqrt{(-a t)^2 + (a t)^2} = \sqrt{a^2 t^2 + a^2 t^2} = \sqrt{2 a^2 t^2} = a t \sqrt{2}\). Приравниваем длину \(BD\) к \(a\): \(a t \sqrt{2} = a\). Делим обе части уравнения на \(a\) (так как \(a \neq 0\)), получаем \(t \sqrt{2} = 1\), откуда \(t = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Теперь найдём точные координаты точки \(D\), подставив найденное значение \(t\) в выражение для \(D\): \(D = \left(-a \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}; a + a \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \left(-\frac{a}{\sqrt{2}}; a \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)\). Таким образом, точка \(D\) смещена по оси \(x\) в отрицательную сторону на \(\frac{a}{\sqrt{2}}\), а по оси \(y\) — выше точки \(B\) на \(a \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Осталось найти длину отрезка \(CD\), где \(C = (0; 0)\). Расстояние между двумя точками в координатах вычисляется по формуле \(CD = \sqrt{(x_D — x_C)^2 + (y_D — y_C)^2}\). Подставляем координаты: \(CD = \sqrt{\left(-\frac{a}{\sqrt{2}} — 0\right)^2 + \left(a \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) — 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(a \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)^2}\). Вынесем \(a^2\) за скобки: \(CD = a \sqrt{\frac{1}{2} + \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}\).

Теперь вычислим квадрат выражения \(\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\). Раскроем скобки по формуле квадрата суммы: \(1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1 + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}\). Упростим: \(1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \sqrt{2}\). Подставим это значение обратно в выражение для \(CD\): \(CD = a \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \sqrt{2}} = a \sqrt{2 + \sqrt{2}}\). Таким образом, длина отрезка \(CD\) выражается через катет \(a\) и числовое значение \(\sqrt{2 + \sqrt{2}}\).