ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 413 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Начертите треугольник АВС и отметьте точку М — середину стороны ВС. От точки М отложите вектор, равный вектору \(\vec{AM}\), а от точки В — вектор, равный вектору \(\vec{AC}\). Докажите, что концы построенных векторов совпадают.
Рассмотрим четырехугольник \(ABEC\). Из условия \(\vec{BE} = \vec{AC}\) следует, что стороны \(BE\) и \(AC\) параллельны и равны. Значит, четырехугольник \(ABEC\) является параллелограммом. В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. По условию, точка \(M\) — середина стороны \(BC\). Так как \(ABEC\) — параллелограмм, то точка \(M\) также является серединой диагонали \(AE\). Из этого следует, что \(\vec{AM} = \vec{ME}\). Что и требовалось доказать.
Пусть дан треугольник \(ABC\). Точка \(M\) является серединой стороны \(BC\). Нам необходимо доказать, что если мы построим точку \(E\) таким образом, что вектор \(\vec{ME}\) равен вектору \(\vec{AM}\), и одновременно построим ту же точку \(E\) таким образом, что вектор \(\vec{BE}\) равен вектору \(\vec{AC}\), то концы этих построенных векторов, то есть точка \(E\), совпадут.
Рассмотрим первое условие: \(\vec{ME} = \vec{AM}\). Это векторное равенство означает, что векторы \(\vec{ME}\) и \(\vec{AM}\) имеют одинаковую длину, одинаковое направление и лежат на одной прямой. Поскольку они имеют общую точку \(M\) (начало одного и конец другого), это прямо указывает на то, что точка \(M\) является серединой отрезка \(AE\). Таким образом, отрезок \(AM\) равен отрезку \(ME\), и точки \(A\), \(M\), \(E\) лежат на одной прямой.
Теперь рассмотрим второе условие: \(\vec{BE} = \vec{AC}\). Согласно определению равенства векторов, это означает, что отрезки \(BE\) и \(AC\) параллельны (\(BE \parallel AC\)) и имеют одинаковую длину (\(BE = AC\)).
Обратим внимание на четырехугольник \(ABEC\). В этом четырехугольнике мы только что установили, что сторона \(BE\) параллельна стороне \(AC\) и равна ей по длине. По одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, четырехугольник \(ABEC\) — параллелограмм.
В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Диагоналями параллелограмма \(ABEC\) являются отрезки \(AE\) и \(BC\). По условию задачи, точка \(M\) является серединой стороны \(BC\). Поскольку \(BC\) — одна из диагоналей параллелограмма \(ABEC\), и \(M\) — ее середина, то \(M\) также должна быть серединой второй диагонали — отрезка \(AE\).
Таким образом, мы пришли к выводу, что точка \(M\) является серединой отрезка \(AE\). Это утверждение полностью согласуется с нашим первоначальным выводом из условия \(\vec{ME} = \vec{AM}\). Поскольку обе векторные конструкции приводят к одному и тому же геометрическому свойству (точка \(M\) является серединой отрезка \(AE\)), это однозначно доказывает, что концы построенных векторов, то есть точка \(E\), совпадают.
