ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 414 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Начертите треугольник АВС. От точек В и С отложите векторы, соответственно равные векторам \(\vec{AC}\) и \(\vec{AB}\). Докажите, что концы построенных векторов совпадают.
Рассмотрим четырехугольник ABEC.
Из условия \(\vec{BE} = \vec{AC}\) следует, что отрезки \(BE\) и \(AC\) равны по длине и параллельны.
Поскольку в четырехугольнике ABEC одна пара противоположных сторон (\(BE\) и \(AC\)) равна и параллельна, то четырехугольник ABEC является параллелограммом.
В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны.
Следовательно, \(CE = AB\) и \(CE \parallel AB\), что означает \(\vec{CE} = \vec{AB}\).
Таким образом, точка \(E\), определенная вектором \(\vec{BE} = \vec{AC}\), совпадает с точкой \(E\), определенной вектором \(\vec{CE} = \vec{AB}\).
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим произвольный треугольник \(ABC\). Наша задача состоит в том, чтобы доказать, что если мы построим точку \(E\) таким образом, что вектор \(\vec{BE}\) равен вектору \(\vec{AC}\), то из этого автоматически следует, что вектор \(\vec{CE}\) будет равен вектору \(\vec{AB}\). Это докажет, что обе векторные конструкции приводят к одной и той же уникальной точке \(E\).
Начнем с анализа первого данного условия: \(\vec{BE} = \vec{AC}\). Это векторное равенство подразумевает два ключевых геометрических свойства. Во-первых, длина отрезка \(BE\) должна быть в точности равна длине отрезка \(AC\), что можно записать как \(|BE| = |AC|\). Во-вторых, направление вектора \(\vec{BE}\) должно совпадать с направлением вектора \(\vec{AC}\), что означает, что отрезок \(BE\) должен быть параллелен отрезку \(AC\), то есть \(BE \parallel AC\). Эти два условия являются фундаментальными для определения типа четырехугольника, образованного точками \(A\), \(B\), \(E\) и \(C\).
Теперь рассмотрим четырехугольник \(ABEC\). Мы только что установили, что одна пара его противоположных сторон, а именно \(BE\) и \(AC\), одновременно равны по длине и параллельны. Согласно одному из основных признаков параллелограмма, если в четырехугольнике одна пара противоположных сторон равна по длине и параллельна, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, мы можем с уверенностью заключить, что четырехугольник \(ABEC\) является параллелограммом.
Поскольку \(ABEC\) является параллелограммом, он обладает всеми свойствами параллелограмма. Одним из таких свойств является то, что обе пары его противоположных сторон параллельны и равны по длине. Мы уже использовали свойство, касающееся сторон \(BE\) и \(AC\). Теперь применим это свойство к другой паре противоположных сторон в параллелограмме \(ABEC\). Этими сторонами являются \(AB\) и \(CE\). Из свойств параллелограмма следует, что длина отрезка \(AB\) должна быть равна длине отрезка \(CE\), то есть \(|AB| = |CE|\), и отрезок \(AB\) должен быть параллелен отрезку \(CE\), то есть \(AB \parallel CE\).
Условия \(|AB| = |CE|\) и \(AB \parallel CE\) в совокупности означают, что вектор \(\vec{CE}\) равен вектору \(\vec{AB}\). Это следует из определения равенства векторов: два вектора равны, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление. Таким образом, мы показали, что если точка \(E\) построена таким образом, что \(\vec{BE} = \vec{AC}\), то из этого автоматически вытекает, что \(\vec{CE} = \vec{AB}\). Это доказывает, что обе векторные конструкции определяют одну и ту же уникальную точку \(E\).
