ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 416 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке О. Укажите равные векторы, начала и концы которых находятся в точках A, B, C, D, O.

В ромбе ABCD с точкой пересечения диагоналей O, равные векторы:
\(\vec{AB} = \vec{DC}\), \(\vec{BC} = \vec{AD}\), \(\vec{BA} = \vec{CD}\), \(\vec{CB} = \vec{DA}\).
Также:
\(\vec{BO} = \vec{OD}\), \(\vec{AO} = \vec{OC}\), \(\vec{OB} = \vec{DO}\), \(\vec{CO} = \vec{OA}\).

В ромбе ABCD все стороны имеют одинаковую длину, а противоположные стороны параллельны. Диагонали ромба пересекаются в точке O, которая является их серединой.

Векторы считаются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

Рассмотрим векторы, образованные сторонами ромба. Поскольку ромб является частным случаем параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны по длине.
Вектор \(\vec{AB}\) направлен от точки A к точке B. Вектор \(\vec{DC}\) направлен от точки D к точке C. Так как сторона AB параллельна стороне DC и имеет такую же длину, а также направления векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\) совпадают, то \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
Аналогично, вектор \(\vec{BC}\) направлен от точки B к точке C, а вектор \(\vec{AD}\) направлен от точки A к точке D. Сторона BC параллельна стороне AD и равна ей по длине, а направления векторов \(\vec{BC}\) и \(\vec{AD}\) совпадают. Следовательно, \(\vec{BC} = \vec{AD}\).

Теперь рассмотрим векторы, которые являются противоположными к уже найденным.
Вектор \(\vec{BA}\) направлен от точки B к точке A, что противоположно направлению вектора \(\vec{AB}\). Вектор \(\vec{CD}\) направлен от точки C к точке D, что противоположно направлению вектора \(\vec{DC}\). Поскольку \(\vec{AB} = \vec{DC}\), то \(\vec{BA} = -\vec{AB}\) и \(\vec{CD} = -\vec{DC}\). Таким образом, \(\vec{BA} = -\vec{DC}\). Но так как \(\vec{CD}\) является вектором, противоположным \(\vec{DC}\), то \(\vec{CD} = -\vec{DC}\). Отсюда следует, что \(\vec{BA} = \vec{CD}\).
По той же логике, \(\vec{CB}\) направлен от точки C к точке B, а \(\vec{DA}\) направлен от точки D к точке A. Так как \(\vec{BC} = \vec{AD}\), то \(\vec{CB} = -\vec{BC}\) и \(\vec{DA} = -\vec{AD}\). Следовательно, \(\vec{CB} = -\vec{AD}\). Но так как \(\vec{DA}\) является вектором, противоположным \(\vec{AD}\), то \(\vec{DA} = -\vec{AD}\). Отсюда следует, что \(\vec{CB} = \vec{DA}\).

Рассмотрим векторы, связанные с точкой пересечения диагоналей O. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам. Это означает, что точка O является серединой отрезка BD и отрезка AC.
Вектор \(\vec{BO}\) направлен от точки B к точке O. Вектор \(\vec{OD}\) направлен от точки O к точке D. Поскольку O — середина BD, длина отрезка BO равна длине отрезка OD, и эти отрезки лежат на одной прямой, а векторы \(\vec{BO}\) и \(\vec{OD}\) имеют одинаковое направление. Следовательно, \(\vec{BO} = \vec{OD}\).
Аналогично, вектор \(\vec{AO}\) направлен от точки A к точке O. Вектор \(\vec{OC}\) направлен от точки O к точке C. Поскольку O — середина AC, длина отрезка AO равна длине отрезка OC, и эти отрезки лежат на одной прямой, а векторы \(\vec{AO}\) и \(\vec{OC}\) имеют одинаковое направление. Следовательно, \(\vec{AO} = \vec{OC}\).

Наконец, рассмотрим векторы, противоположные векторам, связанным с точкой O.
Вектор \(\vec{OB}\) направлен от точки O к точке B, что противоположно направлению вектора \(\vec{BO}\). Вектор \(\vec{DO}\) направлен от точки D к точке O, что противоположно направлению вектора \(\vec{OD}\). Поскольку \(\vec{BO} = \vec{OD}\), то \(\vec{OB} = -\vec{BO}\) и \(\vec{DO} = -\vec{OD}\). Таким образом, \(\vec{OB} = -\vec{OD}\). Но так как \(\vec{DO}\) является вектором, противоположным \(\vec{OD}\), то \(\vec{DO} = -\vec{OD}\). Отсюда следует, что \(\vec{OB} = \vec{DO}\).
По той же логике, \(\vec{CO}\) направлен от точки C к точке O, а \(\vec{OA}\) направлен от точки O к точке A. Так как \(\vec{AO} = \vec{OC}\), то \(\vec{CO} = -\vec{OC}\) и \(\vec{OA} = -\vec{AO}\). Следовательно, \(\vec{CO} = -\vec{AO}\). Но так как \(\vec{OA}\) является вектором, противоположным \(\vec{AO}\), то \(\vec{OA} = -\vec{AO}\). Отсюда следует, что \(\vec{CO} = \vec{OA}\).

Итак, все равные векторы:
\(\vec{AB} = \vec{DC}\), \(\vec{BC} = \vec{AD}\), \(\vec{BA} = \vec{CD}\), \(\vec{CB} = \vec{DA}\);
\(\vec{BO} = \vec{OD}\), \(\vec{AO} = \vec{OC}\), \(\vec{OB} = \vec{DO}\), \(\vec{CO} = \vec{OA}\).