ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 419 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Пусть О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Укажите векторы, начала и концы которых находятся в точках А, В, C, D, O: 1) равные; 2) сонаправленные; 3) противоположно направленные.

1) Равные векторы:
\(\vec{AB} = \vec{DC}\), \(\vec{BA} = \vec{CD}\), \(\vec{BC} = \vec{AD}\), \(\vec{CB} = \vec{DA}\), \(\vec{AO} = \vec{OC}\), \(\vec{OA} = \vec{CO}\), \(\vec{BO} = \vec{OD}\), \(\vec{OB} = \vec{DO}\).

2) Сонаправленные векторы:
\(\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{DC}\), \(\vec{AO} \uparrow\uparrow \vec{OC} \uparrow\uparrow \vec{AC}\), \(\vec{OA} \uparrow\uparrow \vec{CO} \uparrow\uparrow \vec{CA}\), \(\vec{BA} \uparrow\uparrow \vec{CD}\), \(\vec{BO} \uparrow\uparrow \vec{OD} \uparrow\uparrow \vec{BD}\), \(\vec{OB} \uparrow\uparrow \vec{DO} \uparrow\uparrow \vec{DB}\), \(\vec{BC} \uparrow\uparrow \vec{AD}\), \(\vec{CB} \uparrow\uparrow \vec{DA}\).

3) Противонаправленные векторы:
\(\vec{AB} \uparrow\downarrow \vec{BA}\), \(\vec{AB} \uparrow\downarrow \vec{CD}\), \(\vec{AD} \uparrow\downarrow \vec{DA}\), \(\vec{AD} \uparrow\downarrow \vec{CB}\), \(\vec{BC} \uparrow\downarrow \vec{CB}\), \(\vec{BC} \uparrow\downarrow \vec{DA}\), \(\vec{DC} \uparrow\downarrow \vec{CD}\), \(\vec{DC} \uparrow\downarrow \vec{BA}\), \(\vec{AO} \uparrow\downarrow \vec{OA}\), \(\vec{AO} \uparrow\downarrow \vec{CO}\), \(\vec{OC} \uparrow\downarrow \vec{CO}\), \(\vec{OC} \uparrow\downarrow \vec{OA}\), \(\vec{BO} \uparrow\downarrow \vec{OB}\), \(\vec{BO} \uparrow\downarrow \vec{DO}\), \(\vec{OD} \uparrow\downarrow \vec{DO}\), \(\vec{OD} \uparrow\downarrow \vec{OB}\), \(\vec{AC} \uparrow\downarrow \vec{CA}\), \(\vec{BD} \uparrow\downarrow \vec{DB}\).

Пусть О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.

1) Равные векторы. Векторы называются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

\(\vec{AB} = \vec{DC}\): В параллелограмме противоположные стороны AB и DC равны по длине и параллельны, что означает, что они имеют одинаковое направление. Следовательно, векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\) равны.

\(\vec{BA} = \vec{CD}\): Вектор \(\vec{BA}\) имеет ту же длину, что и \(\vec{AB}\), но противоположное направление. Аналогично, \(\vec{CD}\) имеет ту же длину, что и \(\vec{DC}\), но противоположное направление. Поскольку \(\vec{AB} = \vec{DC}\), то и их противоположные векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{CD}\) также равны.

\(\vec{BC} = \vec{AD}\): По свойству параллелограмма, противоположные стороны BC и AD равны по длине и параллельны. Это означает, что векторы \(\vec{BC}\) и \(\vec{AD}\) имеют одинаковое направление и длину, поэтому они равны.

\(\vec{CB} = \vec{DA}\): Аналогично предыдущему пункту, векторы \(\vec{CB}\) и \(\vec{DA}\) являются противоположными к \(\vec{BC}\) и \(\vec{AD}\) соответственно. Так как \(\vec{BC} = \vec{AD}\), то \(\vec{CB} = \vec{DA}\).

\(\vec{AO} = \vec{OC}\): Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка O является серединой диагонали AC. Следовательно, отрезки AO и OC имеют одинаковую длину. Векторы \(\vec{AO}\) и \(\vec{OC}\) направлены вдоль одной прямой AC от A к C, поэтому они имеют одинаковое направление. Таким образом, \(\vec{AO} = \vec{OC}\).

\(\vec{OA} = \vec{CO}\): Эти векторы являются противоположными к \(\vec{AO}\) и \(\vec{OC}\) соответственно. Поскольку \(\vec{AO} = \vec{OC}\), то и \(\vec{OA} = \vec{CO}\).

\(\vec{BO} = \vec{OD}\): Аналогично, точка O является серединой диагонали BD. Отрезки BO и OD имеют одинаковую длину. Векторы \(\vec{BO}\) и \(\vec{OD}\) направлены вдоль одной прямой BD от B к D, поэтому они имеют одинаковое направление. Таким образом, \(\vec{BO} = \vec{OD}\).

\(\vec{OB} = \vec{DO}\): Эти векторы являются противоположными к \(\vec{BO}\) и \(\vec{OD}\) соответственно. Поскольку \(\vec{BO} = \vec{OD}\), то и \(\vec{OB} = \vec{DO}\).

2) Сонаправленные векторы. Векторы называются сонаправленными, если они имеют одинаковое направление, независимо от их длины.

\(\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{DC}\): Как уже упоминалось, стороны AB и DC параллельны и направлены одинаково в параллелограмме.

\(\vec{AO} \uparrow\uparrow \vec{OC} \uparrow\uparrow \vec{AC}\): Все эти векторы лежат на одной прямой (диагонали AC) и направлены от A к C. Вектор \(\vec{AC}\) представляет собой сумму \(\vec{AO} + \vec{OC}\), и все они указывают в одном направлении.

\(\vec{OA} \uparrow\uparrow \vec{CO} \uparrow\uparrow \vec{CA}\): Эти векторы также лежат на одной прямой (диагонали AC), но направлены от C к A. Вектор \(\vec{CA}\) представляет собой сумму \(\vec{CO} + \vec{OA}\), и все они указывают в одном направлении.

\(\vec{BA} \uparrow\uparrow \vec{CD}\): Стороны BA и CD параллельны и направлены одинаково.

\(\vec{BO} \uparrow\uparrow \vec{OD} \uparrow\uparrow \vec{BD}\): Все эти векторы лежат на одной прямой (диагонали BD) и направлены от B к D. Вектор \(\vec{BD}\) представляет собой сумму \(\vec{BO} + \vec{OD}\), и все они указывают в одном направлении.

\(\vec{OB} \uparrow\uparrow \vec{DO} \uparrow\uparrow \vec{DB}\): Эти векторы также лежат на одной прямой (диагонали BD), но направлены от D к B. Вектор \(\vec{DB}\) представляет собой сумму \(\vec{DO} + \vec{OB}\), и все они указывают в одном направлении.

\(\vec{BC} \uparrow\uparrow \vec{AD}\): Стороны BC и AD параллельны и направлены одинаково.

\(\vec{CB} \uparrow\uparrow \vec{DA}\): Стороны CB и DA параллельны и направлены одинаково.

3) Противонаправленные векторы. Векторы называются противонаправленными, если они имеют противоположное направление, независимо от их длины.

\(\vec{AB} \uparrow\downarrow \vec{BA}\): Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BA}\) представляют один и тот же отрезок, но указывают в противоположных направлениях.

\(\vec{AB} \uparrow\downarrow \vec{CD}\): Вектор \(\vec{AB}\) направлен от A к B. Вектор \(\vec{CD}\) направлен от C к D. Поскольку AB параллельно DC, и \(\vec{CD}\) является вектором, противоположным к \(\vec{DC}\), то \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) имеют противоположные направления.

\(\vec{AD} \uparrow\downarrow \vec{DA}\): Векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{DA}\) представляют один и тот же отрезок, но указывают в противоположных направлениях.

\(\vec{AD} \uparrow\downarrow \vec{CB}\): Вектор \(\vec{AD}\) направлен от A к D. Вектор \(\vec{CB}\) направлен от C к B. Поскольку AD параллельно BC, и \(\vec{CB}\) является вектором, противоположным к \(\vec{BC}\), то \(\vec{AD}\) и \(\vec{CB}\) имеют противоположные направления.

\(\vec{BC} \uparrow\downarrow \vec{CB}\): Векторы \(\vec{BC}\) и \(\vec{CB}\) представляют один и тот же отрезок, но указывают в противоположных направлениях.

\(\vec{BC} \uparrow\downarrow \vec{DA}\): Вектор \(\vec{BC}\) направлен от B к C. Вектор \(\vec{DA}\) направлен от D к A. Поскольку BC параллельно AD, и \(\vec{DA}\) является вектором, противоположным к \(\vec{AD}\), то \(\vec{BC}\) и \(\vec{DA}\) имеют противоположные направления.

\(\vec{DC} \uparrow\downarrow \vec{CD}\): Векторы \(\vec{DC}\) и \(\vec{CD}\) представляют один и тот же отрезок, но указывают в противоположных направлениях.

\(\vec{DC} \uparrow\downarrow \vec{BA}\): Вектор \(\vec{DC}\) направлен от D к C. Вектор \(\vec{BA}\) направлен от B к A. Поскольку DC параллельно AB, и \(\vec{BA}\) является вектором, противоположным к \(\vec{AB}\), то \(\vec{DC}\) и \(\vec{BA}\) имеют противоположные направления.

\(\vec{AO} \uparrow\downarrow \vec{OA}\): Векторы \(\vec{AO}\) и \(\vec{OA}\) представляют один и тот же отрезок диагонали, но указывают в противоположных направлениях.

\(\vec{AO} \uparrow\downarrow \vec{CO}\): Вектор \(\vec{AO}\) направлен от A к O. Вектор \(\vec{CO}\) направлен от C к O. Они лежат на одной прямой, но направлены навстречу друг другу.

\(\vec{OC} \uparrow\downarrow \vec{CO}\): Векторы \(\vec{OC}\) и \(\vec{CO}\) представляют один и тот же отрезок диагонали, но указывают в противоположных направлениях.

\(\vec{OC} \uparrow\downarrow \vec{OA}\): Вектор \(\vec{OC}\) направлен от O к C. Вектор \(\vec{OA}\) направлен от O к A. Они лежат на одной прямой, но направлены навстречу друг другу.

\(\vec{BO} \uparrow\downarrow \vec{OB}\): Векторы \(\vec{BO}\) и \(\vec{OB}\) представляют один и тот же отрезок диагонали, но указывают в противоположных направлениях.

\(\vec{BO} \uparrow\downarrow \vec{DO}\): Вектор \(\vec{BO}\) направлен от B к O. Вектор \(\vec{DO}\) направлен от D к O. Они лежат на одной прямой, но направлены навстречу друг другу.

\(\vec{OD} \uparrow\downarrow \vec{DO}\): Векторы \(\vec{OD}\) и \(\vec{DO}\) представляют один и тот же отрезок диагонали, но указывают в противоположных направлениях.

\(\vec{OD} \uparrow\downarrow \vec{OB}\): Вектор \(\vec{OD}\) направлен от O к D. Вектор \(\vec{OB}\) направлен от O к B. Они лежат на одной прямой, но направлены навстречу друг другу.

\(\vec{AC} \uparrow\downarrow \vec{CA}\): Векторы \(\vec{AC}\) и \(\vec{CA}\) представляют одну и ту же диагональ, но указывают в противоположных направлениях.

\(\vec{BD} \uparrow\downarrow \vec{DB}\): Векторы \(\vec{BD}\) и \(\vec{DB}\) представляют одну и ту же диагональ, но указывают в противоположных направлениях.