ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 42 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle C = 90^\circ\), \(AB = 13\) см, \(AC = 12\) см. На продолжении гипотенузы \(AB\) за точку \(B\) отметили точку \(D\) так, что \(BD = 26\) см. Найдите отрезок \(CD\).

Краткий ответ:

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, значит \(BC = \sqrt{AB^2 — AC^2} = \sqrt{13^2 — 12^2} = \sqrt{169 — 144} = \sqrt{25} = 5\) см. Косинус угла \(B\) равен \(cos \angle B = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13}\). Угол \(CBD = 180^\circ — \angle B\), значит \(cos \angle CBD = -cos \angle B = -\frac{5}{13}\). По теореме косинусов для треугольника \(CBD\): \(CD^2 = BC^2 + BD^2 — 2 \cdot BC \cdot BD \cdot cos \angle CBD = 5^2 + 26^2 -\)
\(- 2 \cdot 5 \cdot 26 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = 25 + 676 + 100 = 801\). Тогда \(CD = \sqrt{801} = 3 \sqrt{89}\) см.

Подробный ответ:

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) является прямым, то есть равен \(90^\circ\). Это значит, что стороны \(AC\) и \(BC\) — катеты, а сторона \(AB\) — гипотенуза. Известно, что \(AB = 13\) см, а \(AC = 12\) см. Чтобы найти длину второго катета \(BC\), используем теорему Пифагора, которая утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Запишем это в виде формулы: \(AB^{2} = AC^{2} + BC^{2}\). Подставим известные значения: \(13^{2} = 12^{2} + BC^{2}\), то есть \(169 = 144 + BC^{2}\). Вычтем \(144\) из обеих частей уравнения, получим \(BC^{2} = 169 — 144 = 25\). Теперь найдём \(BC\), взяв квадратный корень: \(BC = \sqrt{25} = 5\) см. Таким образом, длина катета \(BC\) равна 5 см.

Далее нам нужно найти косинус угла \(B\). В треугольнике косинус угла — это отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе. Угол \(B\) образован сторонами \(AB\) и \(BC\), поэтому прилежащий катет для угла \(B\) — это \(BC\), а гипотенуза — \(AB\). Следовательно, \(cos \angle B = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13}\). Это значение пригодится нам для дальнейших вычислений, так как точка \(D\) лежит на продолжении гипотенузы \(AB\) за точку \(B\).

Теперь рассмотрим треугольник \(CBD\). Точка \(D\) находится на продолжении стороны \(AB\) за точку \(B\), поэтому угол \(CBD\) является внешним углом к углу \(B\) треугольника \(ABC\). Внешний угол равен \(180^\circ\) минус внутренний угол, то есть \( \angle CBD = 180^\circ — \angle B\). Косинус внешнего угла равен минус косинусу внутреннего угла, то есть \(cos \angle CBD = -cos \angle B = -\frac{5}{13}\). Теперь применим теорему косинусов к треугольнику \(CBD\), чтобы найти длину стороны \(CD\). Теорема косинусов гласит: \(CD^{2} = BC^{2} + BD^{2} — 2 \cdot BC \cdot BD \cdot cos \angle CBD\). Подставим известные значения: \(BC = 5\), \(BD = 26\), \(cos \angle CBD = -\frac{5}{13}\). Получаем \(CD^{2} = 5^{2} + 26^{2} — 2 \cdot 5 \cdot 26 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right)\). Вычислим каждый член: \(5^{2} = 25\), \(26^{2} = 676\), а последний член равен \(2 \cdot 5 \cdot 26 \cdot \frac{5}{13} = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 = 100\). Складываем: \(CD^{2} = 25 + 676 + 100 = 801\). Остаётся извлечь корень: \(CD = \sqrt{801} = \sqrt{9 \cdot 89} = 3 \sqrt{89}\) см. Таким образом, длина отрезка \(CD\) равна \(3 \sqrt{89}\) см.

Оцени решение