ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 421 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Верно ли утверждение:

1) если \(\vec{m} = \vec{n}\), то \(|\vec{m}| = |\vec{n}|\);

2) если \(\vec{m} = \vec{n}\), то \(\vec{m} \parallel \vec{n}\);

3) если \(\vec{m} \neq \vec{n}\), то \(|\vec{m}| \neq |\vec{n}|\)?

Краткий ответ:

1) Если \(\vec{m} = \vec{n}\), то \(|\vec{m}| = |\vec{n}|\). Это утверждение верно. Если два вектора равны, это значит, что они имеют одинаковое направление и одинаковую длину. Поэтому их длины (модули) обязательно будут равны.

2) Если \(\vec{m} = \vec{n}\), то \(\vec{m} \parallel \vec{n}\). Это утверждение верно. Если два вектора равны, они направлены в одну и ту же сторону. Векторы, которые направлены в одну и ту же сторону, считаются параллельными.

3) Если \(\vec{m} \neq \vec{n}\), то \(|\vec{m}| \neq |\vec{n}|\). Это утверждение неверно. Векторы могут быть не равны, но при этом иметь одинаковую длину. Например, вектор \(\vec{m} = (1, 0)\) и вектор \(\vec{n} = (0, 1)\). Эти векторы не равны, так как они указывают в разные стороны. Однако их длины равны: \(|\vec{m}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1\) и \(|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1\). Поскольку \(|\vec{m}| = |\vec{n}|\), хотя \(\vec{m} \neq \vec{n}\), данное утверждение ложно.

Подробный ответ:

Рассмотрим первое утверждение: если \(\vec{m} = \vec{n}\), то \(|\vec{m}| = |\vec{n}|\).
Это утверждение является истинным. Векторы считаются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление. По определению равенства векторов, если вектор \(\vec{m}\) равен вектору \(\vec{n}\), это автоматически означает, что их длины, или модули, должны быть идентичными. Таким образом, \(|\vec{m}|\) будет равен \(|\vec{n}|\).

Далее рассмотрим второе утверждение: если \(\vec{m} = \vec{n}\), то \(\vec{m} \parallel \vec{n}\).
Это утверждение также является истинным. Как было сказано выше, равенство векторов подразумевает не только одинаковую длину, но и одинаковое направление. Векторы считаются параллельными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, и при этом их направления совпадают или противоположны. Поскольку равные векторы имеют абсолютно одинаковое направление, они, безусловно, являются параллельными.

Теперь рассмотрим третье утверждение: если \(\vec{m} \neq \vec{n}\), то \(|\vec{m}| \neq |\vec{n}|\).
Это утверждение является ложным. Для того чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести один контрпример. Представим два вектора, которые не равны друг другу, но при этом имеют одинаковую длину. Например, пусть вектор \(\vec{m}\) имеет координаты \((1, 0)\) в двумерной системе координат, а вектор \(\vec{n}\) имеет координаты \((0, 1)\).

Очевидно, что \(\vec{m} \neq \vec{n}\), поскольку их соответствующие координаты не совпадают. Вектор \(\vec{m}\) направлен вдоль положительной оси абсцисс, а вектор \(\vec{n}\) – вдоль положительной оси ординат.

Теперь вычислим модули этих векторов. Модуль вектора \(\vec{v} = (x, y)\) вычисляется по формуле \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Для вектора \(\vec{m} = (1, 0)\) его модуль равен \(|\vec{m}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0} = \sqrt{1} = 1\).
Для вектора \(\vec{n} = (0, 1)\) его модуль равен \(|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1\).

Мы видим, что \(|\vec{m}| = 1\) и \(|\vec{n}| = 1\). Таким образом, \(|\vec{m}| = |\vec{n}|\), несмотря на то что \(\vec{m} \neq \vec{n}\). Этот пример доказывает, что утверждение «если \(\vec{m} \neq \vec{n}\), то \(|\vec{m}| \neq |\vec{n}|\)» является неверным. Векторы могут быть разными по направлению, но иметь при этом одинаковую длину.

Оцени решение