ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 422 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что если четырёхугольник ABCD — параллелограмм, то \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
| Дано: | Решение: |
| ABCD — паралл; | В параллелограмме ABCD: \(AB = DC\), \(AB \parallel DC\); |
| Доказать: \(\vec{AB} = \vec{DC}\); | \(\vec{AB} = \vec{DC}\); |
| Что и требовалось доказать. |
Пусть дан четырёхугольник ABCD, который является параллелограммом. По определению параллелограмма, это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны по длине. Из этого определения следует, что сторона AB параллельна стороне DC, то есть \(AB \parallel DC\), и длина стороны AB равна длине стороны DC, то есть \(|AB| = |DC|\).
Вектор представляет собой направленный отрезок, который характеризуется двумя основными параметрами: его длиной (или модулем) и его направлением. Рассмотрим вектор \(\vec{AB}\). Его длина равна длине отрезка AB, то есть \(|\vec{AB}| = |AB|\), а его направление задаётся от точки A к точке B. Аналогично, рассмотрим вектор \(\vec{DC}\). Его длина равна длине отрезка DC, то есть \(|\vec{DC}| = |DC|\), а его направление задаётся от точки D к точке C.
Исходя из свойств параллелограмма, мы уже установили, что \(|AB| = |DC|\). Следовательно, длины векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\) равны, то есть \(|\vec{AB}| = |\vec{DC}|\).
Теперь необходимо рассмотреть направления этих векторов. Поскольку стороны AB и DC параллельны, линии, на которых лежат эти отрезки, также параллельны. При обходе вершин параллелограмма в порядке A, B, C, D, направление от A к B совпадает с направлением от D к C. Это означает, что векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\) не только лежат на параллельных прямых, но и указывают в одном и том же «смысле» вдоль этих прямых. То есть, они сонаправлены.
Поскольку векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\) имеют одинаковую длину и одинаковое направление, по определению равенства векторов, они являются равными. Таким образом, \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
