ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 427 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, \(|\vec{AB}| = 5\) см, \(|\vec{AO}| = 6,5\) см. Найдите модули векторов \(\vec{BD}\) и \(\vec{AD}\).
1) В прямоугольнике ABCD: \( \angle BAD = 90^\circ \); \( BO = OD = AO = \frac{1}{2}BD \).
2) Рассмотрим \(\triangle BAD\): \( \angle A = 90^\circ \).
\( BD = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6,5 = 13 \);
\( AD = \sqrt{BD^2 — AB^2} \);
\( AD = \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12 \).
Ответ: \( 13 \) см; \( 12 \) см.
Дано, что ABCD является прямоугольником. В прямоугольнике все углы прямые, то есть равны \(90^\circ\). Также известно, что диагонали прямоугольника равны между собой и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей будет O.
Из условия задачи нам дано, что длина стороны \(AB\) равна \(5\) см, то есть \(|\vec{AB}| = 5\). Также дано, что расстояние от вершины \(A\) до точки пересечения диагоналей \(O\) равно \(6,5\) см, то есть \(|\vec{AO}| = 6,5\).
Поскольку точка \(O\) является точкой пересечения диагоналей прямоугольника, и диагонали делятся ею пополам, это означает, что \(AO = CO = BO = DO\). Следовательно, длина диагонали \(BD\) будет в два раза больше длины отрезка \(AO\). Мы можем записать это как \(|\vec{BD}| = 2 \cdot |\vec{AO}|\). Подставляя данное значение \(|\vec{AO}|\), получаем \(|\vec{BD}| = 2 \cdot 6,5 \text{ см} = 13 \text{ см}\).
Теперь рассмотрим треугольник \(BAD\). Поскольку ABCD — прямоугольник, угол \(BAD\) является прямым, то есть \(\angle BAD = 90^\circ\). Таким образом, треугольник \(BAD\) является прямоугольным. В этом прямоугольном треугольнике стороны \(AB\) и \(AD\) являются катетами, а диагональ \(BD\) является гипотенузой.
Для нахождения длины стороны \(AD\) мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику \(BAD\). Теорема Пифагора гласит, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае это выражается как \(AD^2 + AB^2 = BD^2\).
Нам нужно найти \(AD\), поэтому мы можем переписать уравнение как \(AD^2 = BD^2 — AB^2\). Чтобы найти \(AD\), мы возьмем квадратный корень из правой части уравнения: \(AD = \sqrt{BD^2 — AB^2}\).
Теперь подставим известные значения: \(|\vec{AB}| = 5\) и \(|\vec{BD}| = 13\). Получаем \(AD = \sqrt{13^2 — 5^2}\). Вычисляем квадраты: \(13^2 = 169\) и \(5^2 = 25\). Тогда \(AD = \sqrt{169 — 25}\). Выполняем вычитание: \(AD = \sqrt{144}\). Наконец, находим квадратный корень: \(AD = 12 \text{ см}\).
Таким образом, длина вектора \(|\vec{BD}|\) составляет \(13\) см, а длина вектора \(|\vec{AD}|\) составляет \(12\) см.
