ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 428 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Известно, что \(\vec{AB} = \vec{DC}\). Верно ли, что точки A, B, C и D являются вершинами параллелограмма?

Краткий ответ:

нет. Если \(\vec{AB} = \vec{DC}\), это значит, что отрезки AB и DC равны по длине и направлены в одну сторону. Для того чтобы ABCD был параллелограммом, точки A, B, C и D не должны лежать на одной прямой. В случае, когда все четыре точки находятся на одной прямой, они не образуют параллелограмм, даже если \(\vec{AB} = \vec{DC}\).

Подробный ответ:

нет.

Для того чтобы четыре точки A, B, C и D являлись вершинами параллелограмма ABCD, необходимо, чтобы они образовывали четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине. Условие \(\vec{AB} = \vec{DC}\) означает, что вектор, идущий из точки A в точку B, точно такой же, как вектор, идущий из точки D в точку C. Это автоматически подразумевает, что отрезок AB параллелен отрезку DC и их длины равны, то есть \(|AB| = |DC|\).

Однако, определение параллелограмма также требует, чтобы его вершины не лежали на одной прямой. Если все четыре точки A, B, C и D являются коллинеарными, то есть лежат на одной прямой, они не могут образовать четырехугольник, а следовательно, и параллелограмм, независимо от векторных равенств.

Рассмотрим пример. Пусть точки расположены на числовой оси. Возьмем точку A с координатой 0, точку B с координатой 2. Тогда вектор \(\vec{AB}\) имеет координату \(2 — 0 = 2\). Теперь, чтобы вектор \(\vec{DC}\) был равен \(\vec{AB}\), он также должен иметь координату 2. Пусть точка D имеет координату 3. Тогда для того, чтобы \(\vec{DC}\) был равен 2, координата точки C должна быть \(3 + 2 = 5\). Таким образом, мы имеем точки A(0), B(2), D(3), C(5). Все эти точки лежат на одной прямой. В этом случае \(\vec{AB} = \vec{DC}\) выполняется, так как оба вектора представляют собой смещение на 2 единицы вправо. Но поскольку точки A, B, C и D коллинеарны, они не образуют параллелограмм, а просто расположены на одной линии.

Поскольку существует случай, когда условие \(\vec{AB} = \vec{DC}\) выполняется, но точки не образуют параллелограмм (например, когда они коллинеарны), то утверждение, что точки A, B, C и D *являются* вершинами параллелограмма, не является всегда верным. Следовательно, ответ отрицательный.

Оцени решение