ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 43 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удалён от концов гипотенузы на \(a\) см и 6 см. Найдите гипотенузу треугольника.
В треугольнике \( \triangle ABC \) с прямым углом при \( C \) и вписанной окружностью с центром \( O \), где \( OA = a \), \( OB = b \), найдём гипотенузу \( AB \).
Угол \( C = 90^\circ \), значит \( \angle A + \angle B = 90^\circ \).
Угол \( \angle AOB = 180^\circ — \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = 180^\circ — \frac{90^\circ}{2} = 135^\circ \).
По теореме косинусов в треугольнике \( AOB \):
\( AB^2 = AO^2 + BO^2 — 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos \angle AOB \).
Подставим данные:
\( AB^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos 135^\circ \).
Так как \( \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), то
\( AB^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = a^2 + b^2 + ab \sqrt{2} \).
Следовательно,
\( AB = \sqrt{a^2 + b^2 + ab \sqrt{2}} \).
В данном треугольнике \( ABC \) угол при вершине \( C \) равен \( 90^\circ \), то есть треугольник прямоугольный. Это значит, что стороны \( AC \) и \( BC \) являются катетами, а сторона \( AB \) — гипотенузой. Из свойства треугольника следует, что сумма углов \( A \) и \( B \) равна \( 90^\circ \), так как сумма всех углов треугольника равна \( 180^\circ \), и угол \( C \) уже равен \( 90^\circ \). Таким образом, \( \angle A + \angle B = 90^\circ \).
Центр вписанной окружности \( O \) располагается внутри треугольника и является точкой пересечения биссектрис всех углов. Это значит, что отрезки \( AO \) и \( BO \) являются биссектрисами углов \( A \) и \( B \) соответственно. Биссектриса делит угол пополам, поэтому углы при вершинах \( A \) и \( B \) в треугольнике \( AOB \) равны половинам углов \( A \) и \( B \) исходного треугольника. То есть угол \( BAO = \frac{\angle A}{2} \), а угол \( ABO = \frac{\angle B}{2} \).
Теперь рассмотрим треугольник \( AOB \). Сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^\circ \), следовательно угол \( \angle AOB = 180^\circ — \left( \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} \right) \). Подставляя \( \angle A + \angle B = 90^\circ \), получаем \( \angle AOB = 180^\circ — \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ — 45^\circ = 135^\circ \). Это важный шаг, так как теперь известен угол между отрезками \( AO \) и \( BO \).
Для нахождения длины гипотенузы \( AB \) применим теорему косинусов к треугольнику \( AOB \). Теорема косинусов утверждает, что квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Запишем это: \( AB^2 = AO^2 + BO^2 — 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos \angle AOB \). Подставим известные значения: \( AO = a \), \( BO = b \), а \( \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Тогда формула принимает вид: \( AB^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = a^2 + b^2 + ab \sqrt{2} \).
Осталось извлечь квадратный корень из полученного выражения, чтобы найти длину гипотенузы: \( AB = \sqrt{a^2 + b^2 + ab \sqrt{2}} \). Таким образом, гипотенуза выражается через отрезки \( AO \) и \( BO \) и угол между ними, используя свойства биссектрис и теорему косинусов.
