ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 431 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Дан четырёхугольник ABCD. Известно, что векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) коллинеарны и \(|\vec{AC}| = |\vec{BD}|\). Определите вид четырёхугольника ABCD.
Четырёхугольник ABCD.
1. Дано, что \(AB \parallel CD\). Это означает, что четырёхугольник ABCD является либо параллелограммом, либо трапецией.
2. Дано, что \(AC = BD\).
3. Если ABCD — параллелограмм с равными диагоналями (\(AC = BD\)), то это прямоугольник.
4. Если ABCD — трапеция с равными диагоналями (\(AC = BD\)), то это равнобокая трапеция.
Таким образом, четырёхугольник ABCD является прямоугольником или равнобокой трапецией.
Мы имеем четырёхугольник ABCD. Нам даны два ключевых условия. Первое условие заключается в том, что векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) коллинеарны. Коллинеарность векторов означает, что прямые, на которых лежат эти векторы, параллельны. Следовательно, сторона AB параллельна стороне CD, то есть \(AB \parallel CD\). Второе условие состоит в том, что длины диагоналей четырёхугольника равны: \(|\vec{AC}| = |\vec{BD}|\), что можно записать как \(AC = BD\).
Из условия \(AB \parallel CD\) следует, что четырёхугольник ABCD является трапецией или параллелограммом. Если только одна пара противоположных сторон параллельна, это трапеция. Если обе пары противоположных сторон параллельны (\(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD\)), то это параллелограмм. Мы должны рассмотреть оба этих случая, поскольку условие \(AB \parallel CD\) не исключает возможности того, что \(BC \parallel AD\).
Предположим, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом. Это означает, что помимо \(AB \parallel CD\), также выполняется условие \(BC \parallel AD\). В параллелограмме противоположные стороны равны по длине, то есть \(AB = CD\) и \(BC = AD\). Теперь мы используем второе данное условие: диагонали равны, \(AC = BD\). Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle DCB\). У них сторона BC является общей. Стороны AB и DC равны (\(AB = DC\)) как противоположные стороны параллелограмма. Диагонали AC и DB равны по условию (\(AC = DB\)). Таким образом, по трём сторонам (\(AB = DC\), \(BC = CB\), \(AC = DB\)) треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle DCB\) равны. Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов, в частности, \(\angle ABC = \angle DCB\). Поскольку ABCD — параллелограмм, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\), то есть \(\angle ABC + \angle DCB = 180^\circ\). Так как \(\angle ABC = \angle DCB\), то каждый из этих углов равен \(\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ\). Параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Следовательно, в этом случае ABCD — прямоугольник.
Теперь рассмотрим случай, когда четырёхугольник ABCD является трапецией. Это означает, что \(AB \parallel CD\), но \(BC \not\parallel AD\). Нам дано, что диагонали этой трапеции равны: \(AC = BD\). Известно, что трапеция, у которой диагонали равны, является равнобокой трапецией. Это свойство является одной из характерных особенностей равнобокой трапеции. В равнобокой трапеции боковые стороны равны (\(AD = BC\)), и углы при каждом основании равны (\(\angle DAB = \angle CBA\) и \(\angle ADC = \angle BCD\)). Таким образом, в этом случае ABCD — равнобокая трапеция.
Обобщая рассмотренные случаи, мы приходим к выводу, что четырёхугольник ABCD, у которого одна пара противоположных сторон параллельна (\(AB \parallel CD\)) и диагонали равны (\(AC = BD\)), может быть либо прямоугольником (если он является параллелограммом), либо равнобокой трапецией (если он является трапецией, но не параллелограммом).
