ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 432 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Что можно сказать о векторе \(\vec{AB}\), если \(\vec{AB} = \vec{BA}\)?
Дано: \(\vec{AB} = \vec{BA}\).
Мы знаем, что вектор \(\vec{BA}\) является противоположным вектору \(\vec{AB}\), то есть \(\vec{BA} = -\vec{AB}\).
Подставим это выражение в исходное равенство: \(\vec{AB} = -\vec{AB}\).
Перенесем \((-\vec{AB})\) в левую часть уравнения: \(\vec{AB} + \vec{AB} = \vec{0}\).
Это упрощается до: \(2\vec{AB} = \vec{0}\).
Чтобы это равенство было верным, вектор \(\vec{AB}\) должен быть нулевым вектором.
Ответ: \(\vec{AB}\) — нулевой.
Предположим, что нам дано векторное равенство \(\vec{AB} = \vec{BA}\). Для того чтобы полностью понять это равенство, необходимо вспомнить определение вектора и его свойства. Вектор представляет собой направленный отрезок, который характеризуется длиной и направлением. Вектор \(\vec{AB}\) начинается в точке А и заканчивается в точке В. Соответственно, вектор \(\vec{BA}\) начинается в точке В и заканчивается в точке А.
Важным свойством векторов является понятие противоположного вектора. Вектор, который имеет ту же длину, что и данный вектор, но противоположное направление, называется противоположным вектором. Для вектора \(\vec{AB}\) противоположным вектором будет вектор \(\vec{BA}\), и это математически выражается как \(\vec{BA} = -\vec{AB}\). Знак минус перед вектором указывает на изменение его направления на противоположное, при сохранении той же длины.
Теперь, используя это фундаментальное свойство противоположных векторов, мы можем подставить выражение для \(\vec{BA}\) в исходное данное равенство. Исходное равенство выглядит как \(\vec{AB} = \vec{BA}\). Заменяя \(\vec{BA}\) на \((-\vec{AB})\), мы получаем новое равенство: \(\vec{AB} = -\vec{AB}\). Это ключевой шаг в решении задачи, так как он позволяет нам работать с одним и тем же вектором.
Следующим шагом является алгебраическое преобразование полученного векторного равенства. Для этого мы можем перенести все члены равенства в одну сторону, чтобы приравнять их к нулевому вектору. Если мы перенесем член \((-\vec{AB})\) из правой части равенства в левую часть, его знак изменится на противоположный. Таким образом, равенство \(\vec{AB} = -\vec{AB}\) преобразуется в \(\vec{AB} + \vec{AB} = \vec{0}\). Здесь \(\vec{0}\) обозначает нулевой вектор.
Теперь мы можем сложить одинаковые векторные члены в левой части равенства. Сложение двух одинаковых векторов \(\vec{AB} + \vec{AB}\) эквивалентно умножению этого вектора на скаляр 2. Следовательно, равенство принимает вид \(2\vec{AB} = \vec{0}\). Это означает, что удвоенный вектор \(\vec{AB}\) равен нулевому вектору.
Наконец, чтобы определить сам вектор \(\vec{AB}\), нам нужно разделить обе части равенства на скаляр 2. Разделение нулевого вектора на любое ненулевое скалярное число всегда дает нулевой вектор. Таким образом, из равенства \(2\vec{AB} = \vec{0}\) следует, что \(\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{0}\). Это приводит нас к окончательному выводу: \(\vec{AB} = \vec{0}\).
Следовательно, вектор \(\vec{AB}\) является нулевым вектором. Нулевой вектор — это уникальный вектор, который имеет нулевую длину и не имеет определенного направления. Если \(\vec{AB}\) является нулевым вектором, это означает, что точки А и В совпадают, то есть \(A = B\).
