ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 434 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В прямоугольном треугольнике ABC (\(\angle C = 90^\circ\)) медиана CM равна 6 см. Найдите модули векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\), если \(\angle A = 30^\circ\).
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) медиана \(CM\), проведенная к гипотенузе \(AB\), равна половине гипотенузы, то есть \(CM = \frac{1}{2} AB\). Так как \(CM = 6\) см, то \(AB = 2 \times 6 = 12\) см.
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) сторона, лежащая напротив угла в \(30^\circ\), равна половине гипотенузы. Поскольку \(\angle A = 30^\circ\), то \(BC = \frac{1}{2} AB\). Следовательно, \(BC = \frac{1}{2} \times 12 = 6\) см.
По теореме Пифагора \(AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}\). Отсюда \(AC^{2} = AB^{2} — BC^{2}\). Подставляя значения, получаем \(AC^{2} = 12^{2} — 6^{2} = 144 — 36 = 108\). Значит, \(AC = \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}\) см.
Ответ: \(12\) см; \(6\sqrt{3}\) см.
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\) (\(\angle C = 90^\circ\)) проведена медиана \(CM\) к гипотенузе \(AB\). Известно, что длина медианы \(CM\) составляет \(6\) см. Согласно свойству медианы, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, ее длина равна половине длины гипотенузы. Таким образом, \(CM = \frac{1}{2} AB\). Подставляя известное значение \(CM\), получаем \(6 = \frac{1}{2} AB\). Отсюда, умножая обе части уравнения на \(2\), находим длину гипотенузы \(AB = 2 \times 6 = 12\) см.
Далее, нам дано, что угол \(\angle A = 30^\circ\). В прямоугольном треугольнике, сторона, лежащая напротив угла в \(30^\circ\), равна половине гипотенузы. В данном треугольнике \(ABC\), сторона \(BC\) лежит напротив угла \(\angle A = 30^\circ\). Следовательно, \(BC = \frac{1}{2} AB\). Используя ранее найденное значение \(AB = 12\) см, вычисляем длину стороны \(BC = \frac{1}{2} \times 12 = 6\) см.
Для нахождения длины стороны \(AC\) воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, \(AB^{2} = AC^{2} + BC^{2}\). Чтобы найти \(AC\), перегруппируем уравнение: \(AC^{2} = AB^{2} — BC^{2}\). Подставим известные значения \(AB = 12\) см и \(BC = 6\) см: \(AC^{2} = 12^{2} — 6^{2}\). Вычислим квадраты: \(AC^{2} = 144 — 36\). Выполнив вычитание, получаем \(AC^{2} = 108\). Для нахождения \(AC\) извлечем квадратный корень из \(108\): \(AC = \sqrt{108}\). Чтобы упростить радикал, представим \(108\) как произведение \(36\) и \(3\): \(AC = \sqrt{36 \times 3}\). Поскольку \(\sqrt{36} = 6\), окончательная длина стороны \(AC\) составляет \(6\sqrt{3}\) см.
Ответ: \(12\) см; \(6\sqrt{3}\) см.
