ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 435 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) неколлинеарны. Вектор \(\vec{a}\) коллинеарен каждому из векторов \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). Докажите, что вектор \(\vec{a}\) является нулевым.

Дано: \(\vec{b} \not\parallel \vec{c}\), \(\vec{a} \parallel \vec{b}\), \(\vec{a} \parallel \vec{c}\).
Доказать: \(\vec{a} = \vec{0}\).

Доказательство:
Предположим противное: пусть \(\vec{a} \neq \vec{0}\).
1. Если \(\vec{a} \neq \vec{0}\) и \(\vec{a} \parallel \vec{b}\), то \(\vec{b}\) коллинеарен \(\vec{a}\).
2. Если \(\vec{a} \neq \vec{0}\) и \(\vec{a} \parallel \vec{c}\), то \(\vec{c}\) коллинеарен \(\vec{a}\).
Из пунктов 1 и 2 следует, что векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) оба коллинеарны одному и тому же ненулевому вектору \(\vec{a}\). Следовательно, \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) должны быть коллинеарны друг другу, то есть \(\vec{b} \parallel \vec{c}\).
Однако это противоречит условию задачи, где сказано, что \(\vec{b} \not\parallel \vec{c}\).
Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что \(\vec{a} \neq \vec{0}\), неверно.
Следовательно, \(\vec{a}\) должен быть нулевым вектором: \(\vec{a} = \vec{0}\).
Что и требовалось доказать.

Предположим, для доказательства от противного, что вектор \(\vec{a}\) не является нулевым вектором, то есть \(|\vec{a}| \neq 0\). Это означает, что \(\vec{a}\) является ненулевым вектором.

Поскольку дано, что вектор \(\vec{a}\) коллинеарен вектору \(\vec{b}\) (\(\vec{a} \parallel \vec{b}\)), и мы предположили, что \(\vec{a}\) является ненулевым вектором, то по определению коллинеарности существует такой скаляр \(k_1\), что \(\vec{b} = k_1 \vec{a}\). Если бы вектор \(\vec{b}\) был нулевым, то он был бы коллинеарен любому вектору, включая \(\vec{c}\), что противоречит заданному условию \(\vec{b} \not\parallel \vec{c}\). Следовательно, \(\vec{b}\) также должен быть ненулевым вектором. Из этого следует, что скаляр \(k_1\) не может быть равен нулю, так как если \(k_1 = 0\), то \(\vec{b} = 0 \cdot \vec{a} = \vec{0}\), что мы только что исключили. Таким образом, \(k_1 \neq 0\).

Аналогично, поскольку дано, что вектор \(\vec{a}\) коллинеарен вектору \(\vec{c}\) (\(\vec{a} \parallel \vec{c}\)), и мы предположили, что \(\vec{a}\) является ненулевым вектором, то по определению коллинеарности существует такой скаляр \(k_2\), что \(\vec{c} = k_2 \vec{a}\). По тем же причинам, что и для \(\vec{b}\), вектор \(\vec{c}\) не может быть нулевым, иначе он был бы коллинеарен \(\vec{b}\), что противоречит условию. Следовательно, \(\vec{c}\) также является ненулевым вектором. Из этого следует, что скаляр \(k_2\) не может быть равен нулю, так как если \(k_2 = 0\), то \(\vec{c} = 0 \cdot \vec{a} = \vec{0}\), что мы только что исключили. Таким образом, \(k_2 \neq 0\).

Теперь у нас есть два соотношения: \(\vec{b} = k_1 \vec{a}\) и \(\vec{c} = k_2 \vec{a}\). Поскольку \(k_1 \neq 0\), мы можем выразить \(\vec{a}\) из первого соотношения как \(\vec{a} = \frac{1}{k_1} \vec{b}\). Подставим это выражение для \(\vec{a}\) во второе соотношение: \(\vec{c} = k_2 \left( \frac{1}{k_1} \vec{b} \right)\).

Упрощая это выражение, получаем \(\vec{c} = \left( \frac{k_2}{k_1} \right) \vec{b}\). Обозначим скаляр \(\frac{k_2}{k_1}\) как \(K\). Поскольку \(k_1 \neq 0\) и \(k_2 \neq 0\), то \(K\) является определенным ненулевым скаляром. Таким образом, мы имеем \(\vec{c} = K \vec{b}\). Это равенство означает, что вектор \(\vec{c}\) является скалярным произведением вектора \(\vec{b}\) на некоторое ненулевое число \(K\). По определению, это означает, что векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны, то есть \(\vec{b} \parallel \vec{c}\).

Однако, это заключение \(\vec{b} \parallel \vec{c}\) прямо противоречит исходному условию задачи, которое гласит, что векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) неколлинеарны (\(\vec{b} \not\parallel \vec{c}\)).

Поскольку наше первоначальное предположение о том, что \(\vec{a} \neq \vec{0}\), привело к противоречию с данными условиями задачи, это предположение должно быть ложным. Следовательно, единственно верным является противоположное утверждение: вектор \(\vec{a}\) является нулевым вектором, то есть \(\vec{a} = \vec{0}\). Что и требовалось доказать.