ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 436 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Известно, что векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарны. Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой. Верно ли обратное утверждение: если точки А, В и С лежат на одной прямой, то векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарны?

Краткий ответ:

1) Докажем, что если векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарны, то точки А, В и С лежат на одной прямой.
Предположим противное: точки А, В и С не лежат на одной прямой. Тогда векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) не являются коллинеарными, так как они имеют общее начало А и их концы В и С не лежат на одной прямой с А. Это противоречит условию, что векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарны. Следовательно, наше предположение неверно, и точки А, В и С лежат на одной прямой.

2) Докажем, что если точки А, В и С лежат на одной прямой, то векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарны.
Предположим противное: векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) не коллинеарны. Поскольку векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) имеют общее начало А и не коллинеарны, то точки А, В и С не могут лежать на одной прямой (они образуют треугольник). Это противоречит условию, что точки А, В и С лежат на одной прямой. Следовательно, наше предположение неверно, и векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарны.

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Докажем первое утверждение: если векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарны, то точки А, В и С лежат на одной прямой.

Сначала вспомним определение коллинеарных векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если один из векторов является нулевым, то он считается коллинеарным с любым другим вектором.

Рассмотрим случай, когда оба вектора \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) являются ненулевыми. По условию, векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарны. Это означает, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Однако, оба вектора имеют общую начальную точку А. Если две прямые параллельны и имеют общую точку, то эти прямые должны совпадать. Следовательно, прямая, на которой лежит вектор \(\vec{AB}\) (то есть прямая, проходящая через точки А и В), и прямая, на которой лежит вектор \(\vec{AC}\) (то есть прямая, проходящая через точки А и С), являются одной и той же прямой. Поскольку точка В лежит на первой прямой, а точка С лежит на второй прямой, и эти прямые совпадают, то все три точки А, В и С лежат на одной и той же прямой.

Теперь рассмотрим случаи, когда один или оба вектора являются нулевыми. Если \(\vec{AB} = \vec{0}\), это означает, что точка В совпадает с точкой А. Тогда нам нужно доказать, что точки А, А, С лежат на одной прямой, что всегда верно, так как любые две точки (А и С) определяют прямую, и третья точка (А) лежит на этой прямой. Аналогично, если \(\vec{AC} = \vec{0}\), то точка С совпадает с точкой А. Тогда точки А, В, А лежат на одной прямой, что также верно. Если оба вектора нулевые, то \(\vec{AB} = \vec{0}\) и \(\vec{AC} = \vec{0}\), что означает, что В совпадает с А, и С совпадает с А. Тогда точки А, А, А лежат на одной прямой, что очевидно. Таким образом, во всех случаях, если векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарны, то точки А, В и С лежат на одной прямой.

Докажем второе утверждение: если точки А, В и С лежат на одной прямой, то векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарны.

Сначала вспомним определение коллинеарных точек. Точки называются коллинеарными, если они все лежат на одной прямой.

Рассмотрим случай, когда точки А, В и С являются различными и лежат на одной прямой \(L\). Вектор \(\vec{AB}\) имеет начало в точке А и конец в точке В. Поскольку обе точки А и В лежат на прямой \(L\), то весь вектор \(\vec{AB}\) лежит на этой прямой \(L\). Аналогично, вектор \(\vec{AC}\) имеет начало в точке А и конец в точке С. Поскольку обе точки А и С лежат на прямой \(L\), то весь вектор \(\vec{AC}\) лежит на этой прямой \(L\). По определению коллинеарных векторов, если два вектора лежат на одной и той же прямой, то они являются коллинеарными. Следовательно, векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарны.

Теперь рассмотрим случаи, когда некоторые из точек совпадают. Если точка А совпадает с точкой В (то есть \(A=B\)), то вектор \(\vec{AB}\) является нулевым вектором \(\vec{0}\). Нулевой вектор считается коллинеарным с любым другим вектором, включая \(\vec{AC}\). Следовательно, \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарны. Если точка А совпадает с точкой С (то есть \(A=C\)), то вектор \(\vec{AC}\) является нулевым вектором \(\vec{0}\). Нулевой вектор считается коллинеарным с любым другим вектором, включая \(\vec{AB}\). Следовательно, \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарны. Если точка В совпадает с точкой С (то есть \(B=C\)), то векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) становятся одним и тем же вектором \(\vec{AB}\). Любой вектор коллинеарен самому себе. Следовательно, \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарны. Если все три точки совпадают (то есть \(A=B=C\)), то оба вектора \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) являются нулевыми векторами, а два нулевых вектора коллинеарны. Таким образом, во всех случаях, если точки А, В и С лежат на одной прямой, то векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) коллинеарны.

Оцени решение