ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 437 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Для четырёх точек А, В, С и D известно, что \(\vec{AB} = \vec{CD}\). Докажите, что середины отрезков AD и ВС совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и ВС совпадают, то \(\vec{AB} = \vec{CD}\).

Дано:
1) \(\vec{AB} = \vec{CD}\)
2) \(AO = DO\)
\(BO = CO\)

Доказать:
1) \(AO = DO\)
\(BO = CO\)
2) \(\vec{AB} = \vec{CD}\)

Решение:
1) В четырехугольнике ABDC:
Дано, что \(\vec{AB} = \vec{CD}\). Это означает, что стороны AB и CD параллельны и равны по длине (\(AB \parallel CD\) и \(AB = CD\)).
По определению, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.
Следовательно, ABDC – параллелограмм.
У параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Значит, точка O – середина диагонали AD и середина диагонали BC.
Следовательно, \(AO = DO\) и \(BO = CO\).

2) В четырехугольнике ABDC:
Дано, что \(AO = DO\) и \(BO = CO\). Это означает, что диагонали AD и BC делятся точкой O пополам.
По определению, если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.
Следовательно, ABDC – параллелограмм.
У параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны.
Так как AB и CD – противоположные стороны параллелограмма ABDC, то они параллельны и равны по длине (\(AB \parallel CD\) и \(AB = CD\)).
Поскольку они также направлены в одну сторону, то \(\vec{AB} = \vec{CD}\).
Что и требовалось доказать.

Рассмотрим четыре точки A, B, C и D.

Первая часть доказательства: Если \(\vec{AB} = \vec{CD}\), то середины отрезков AD и BC совпадают.

Предположим, что вектор \(\vec{AB}\) равен вектору \(\vec{CD}\). Это векторное равенство означает, что отрезки AB и CD являются параллельными и равными по длине. То есть, мы имеем условие, что \(AB \parallel CD\) и \(AB = CD\).

Теперь рассмотрим четырехугольник ABDC. В этом четырехугольнике стороны AB и CD являются противоположными сторонами. Согласно установленному условию, эти противоположные стороны параллельны и равны по длине. По одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то такой четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, четырехугольник ABDC является параллелограммом.

Одним из фундаментальных свойств параллелограмма является то, что его диагонали пересекаются в одной точке и эта точка делит каждую диагональ пополам. Диагоналями параллелограмма ABDC являются отрезки AD и BC.

Из свойства параллелограмма следует, что точка пересечения диагоналей AD и BC является серединой отрезка AD, а также является серединой отрезка BC. Поскольку обе диагонали имеют общую середину, это означает, что середины отрезков AD и BC совпадают.

Вторая часть доказательства: Если середины отрезков AD и BC совпадают, то \(\vec{AB} = \vec{CD}\).

Предположим, что середины отрезков AD и BC совпадают. Обозначим эту общую точку середины как O. Это условие означает, что точка O является серединой отрезка AD, и одновременно точка O является серединой отрезка BC.

Если точка O является серединой отрезка AD, то это подразумевает, что \(AO = OD\). Аналогично, если точка O является серединой отрезка BC, то это означает, что \(BO = OC\). Таким образом, мы имеем четырехугольник ABDC, у которого диагонали AD и BC пересекаются в точке O, и эта точка O делит каждую из диагоналей пополам.

По одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, четырехугольник ABDC является параллелограммом.

В параллелограмме противоположные стороны не только параллельны, но и равны по длине. В параллелограмме ABDC стороны AB и CD являются противоположными. Из свойств параллелограмма следует, что \(AB \parallel CD\) и \(AB = CD\). Поскольку векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) представляют собой стороны параллелограмма, они имеют одинаковое направление (так как они являются противоположными сторонами, расположенными таким образом, что образуют параллелограмм) и одинаковую длину. Следовательно, вектор \(\vec{AB}\) равен вектору \(\vec{CD}\), то есть \(\vec{AB} = \vec{CD}\).

Таким образом, мы полностью доказали обе части утверждения.