ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 438 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Известно, что \(\vec{MO} = \vec{ON}\). Докажите, что точка О — середина отрезка MN. Докажите обратное утверждение: если точка О — середина отрезка MN, то \(\vec{MO} = \vec{ON}\).
1) Рассмотрим отрезок MN: дано \(\vec{MO} = \vec{ON}\). Из равенства векторов следует, что их длины равны, то есть \(MO = ON\). Также точки M, O, N лежат на одной прямой. Следовательно, \(MO = ON\).
2) Рассмотрим отрезок MN: дано, что M, O, N лежат на одной прямой и \(MO = ON\). Так как векторы \(\vec{MO}\) и \(\vec{ON}\) сонаправлены (лежат на одной прямой и направлены в одну сторону) и имеют равные длины, то \(\vec{MO} = \vec{ON}\). Что и требовалось доказать.
Рассмотрим первое утверждение: если вектор \(\vec{MO}\) равен вектору \(\vec{ON}\), то точка O является серединой отрезка MN.
Дано, что вектор \(\vec{MO}\) равен вектору \(\vec{ON}\). По определению равенства векторов, два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.
Из того, что векторы \(\vec{MO}\) и \(\vec{ON}\) имеют одинаковое направление, следует, что они лежат на одной прямой, то есть точки M, O и N являются коллинеарными. Более того, поскольку вектор \(\vec{MO}\) направлен от M к O, а вектор \(\vec{ON}\) направлен от O к N, и их направления совпадают, это означает, что точка O находится между точками M и N на этой прямой.
Из того, что векторы \(\vec{MO}\) и \(\vec{ON}\) имеют одинаковую длину, следует, что модуль вектора \(\vec{MO}\) равен модулю вектора \(\vec{ON}\). Модуль вектора представляет собой длину соответствующего отрезка, поэтому длина отрезка MO равна длине отрезка ON, то есть \(MO = ON\).
Таким образом, мы установили два ключевых факта: точки M, O, N коллинеарны, точка O находится между M и N, и длина отрезка MO равна длине отрезка ON. По определению середины отрезка, точка O является серединой отрезка MN, если она лежит на отрезке MN и делит его пополам, то есть расстояния от O до M и от O до N равны. Все эти условия выполнены, что доказывает первое утверждение.
Рассмотрим второе утверждение: если точка O является серединой отрезка MN, то вектор \(\vec{MO}\) равен вектору \(\vec{ON}\).
Дано, что точка O является серединой отрезка MN. По определению середины отрезка, это означает, что точка O лежит на отрезке MN, то есть точки M, O и N являются коллинеарными. Кроме того, точка O находится между точками M и N, и она делит отрезок MN на две равные части, то есть длина отрезка MO равна длине отрезка ON, или \(MO = ON\).
Теперь рассмотрим векторы \(\vec{MO}\) и \(\vec{ON}\).
Во-первых, сравним их модули. Модуль вектора \(\vec{MO}\) равен длине отрезка MO, то есть \(||\vec{MO}|| = MO\). Модуль вектора \(\vec{ON}\) равен длине отрезка ON, то есть \(||\vec{ON}|| = ON\). Поскольку мы знаем, что \(MO = ON\), то и модули векторов равны: \(||\vec{MO}|| = ||\vec{ON}||\).
Во-вторых, сравним их направления. Поскольку точка O является серединой отрезка MN, точки M, O и N лежат на одной прямой. Вектор \(\vec{MO}\) направлен от точки M к точке O. Вектор \(\vec{ON}\) направлен от точки O к точке N. Так как O находится между M и N, оба вектора направлены вдоль одной и той же прямой в одном и том же направлении (от M к N). Следовательно, векторы \(\vec{MO}\) и \(\vec{ON}\) сонаправлены.
Поскольку векторы \(\vec{MO}\) и \(\vec{ON}\) имеют одинаковый модуль и одинаковое направление, по определению равенства векторов, они равны: \(\vec{MO} = \vec{ON}\). Это завершает доказательство второго утверждения.
