ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 439 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Один из углов параллелограмма равен полусумме трёх остальных его углов. Найдите углы параллелограмма.

Известно, что сумма всех углов параллелограмма равна \(360^\circ\). Если один из углов, например \(\angle B\), равен полусумме трёх остальных углов, то \(\angle B = \frac{\angle A + \angle C + \angle D}{2}\).
Так как \(\angle A + \angle C + \angle D = 360^\circ — \angle B\), подставим это в первое уравнение: \(\angle B = \frac{360^\circ — \angle B}{2}\).
Умножим обе части на 2: \(2\angle B = 360^\circ — \angle B\).
Перенесем \(\angle B\) влево: \(3\angle B = 360^\circ\).
Тогда \(\angle B = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ\).
В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\), то есть \(\angle A + \angle B = 180^\circ\).
Следовательно, \(\angle A = 180^\circ — \angle B = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ\).
Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому \(\angle C = \angle A = 60^\circ\) и \(\angle D = \angle B = 120^\circ\).
Ответ: \(60^\circ\); \(120^\circ\).

В параллелограмме сумма всех внутренних углов равна \(360^\circ\). Также известно, что противоположные углы параллелограмма равны, то есть \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\). Кроме того, сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет \(180^\circ\), например, \(\angle A + \angle B = 180^\circ\).

Согласно условию задачи, один из углов параллелограмма равен полусумме трёх остальных углов. Пусть этим углом будет \(\angle B\). Тогда мы можем записать это условие следующим образом: \(\angle B = \frac{\angle A + \angle C + \angle D}{2}\).

Мы знаем, что сумма всех углов параллелограмма \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\). Из этого равенства можно выразить сумму трёх углов \(\angle A + \angle C + \angle D\) как \(360^\circ — \angle B\).

Теперь подставим это выражение для суммы трёх углов в исходное уравнение: \(\angle B = \frac{360^\circ — \angle B}{2}\).

Чтобы решить это уравнение относительно \(\angle B\), сначала умножим обе части уравнения на 2: \(2\angle B = 360^\circ — \angle B\). Затем перенесем член \(\angle B\) из правой части уравнения в левую, изменив его знак: \(2\angle B + \angle B = 360^\circ\). Это упрощается до \(3\angle B = 360^\circ\).

Чтобы найти значение \(\angle B\), разделим обе части уравнения на 3: \(\angle B = \frac{360^\circ}{3}\). Выполняя деление, получаем \(\angle B = 120^\circ\).

Теперь, зная значение \(\angle B\), мы можем найти значение прилежащего к нему угла \(\angle A\). Поскольку сумма прилежащих углов в параллелограмме равна \(180^\circ\), имеем \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). Подставим найденное значение \(\angle B\): \(\angle A + 120^\circ = 180^\circ\). Вычтем \(120^\circ\) из обеих частей уравнения: \(\angle A = 180^\circ — 120^\circ\), что дает \(\angle A = 60^\circ\).

Наконец, используя свойство равенства противоположных углов в параллелограмме, мы можем определить оставшиеся углы: \(\angle C = \angle A = 60^\circ\) и \(\angle D = \angle B = 120^\circ\).

Таким образом, углы параллелограмма составляют \(60^\circ\), \(120^\circ\), \(60^\circ\) и \(120^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\); \(120^\circ\).