ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 44 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(O\) — центр окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), \(BC = a\), \(AC = b\), \(\angle AOB = 120^\circ\). Найдите сторону \(AB\).
Дано: \(BC = a\), \(AC = b\), \(\angle AOB = 120^\circ\).
В треугольнике \(AOB\) сумма углов \( \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ\).
В треугольнике \(ABC\) угол \(C = 180^\circ — 2(\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ — 2 \cdot 60^\circ = 60^\circ\).
По теореме косинусов:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle C\).
Подставляем:
\(AB^2 = b^2 + a^2 — 2ab \cdot \cos 60^\circ = b^2 + a^2 — 2ab \cdot \frac{1}{2} = a^2 + b^2 — ab\).
Ответ: \(AB = \sqrt{a^2 + b^2 — ab}\).
Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором известны стороны \(BC = a\) и \(AC = b\), а также угол между лучами \(AO\) и \(BO\), равный \(120^\circ\). Точка \(O\) — центр вписанной окружности этого треугольника. Поскольку \(O\) — центр вписанной окружности, лучи \(AO\) и \(BO\) являются биссектрисами углов при вершинах \(A\) и \(B\) соответственно. Это значит, что угол \(A\) треугольника \(ABC\) можно представить как удвоенный угол между \(AO\) и стороной \(AB\), а угол \(B\) — как удвоенный угол между \(BO\) и стороной \(AB\).
Для того чтобы найти длину стороны \(AB\), нам нужно определить угол при вершине \(C\). Для этого рассмотрим треугольник \(AOB\), образованный лучами \(AO\) и \(BO\) и стороной \(AB\). В этом треугольнике сумма углов равна \(180^\circ\). Известно, что угол между лучами \(AO\) и \(BO\) равен \(120^\circ\), значит сумма двух других углов треугольника \(AOB\), а именно \(\angle OAB\) и \(\angle OBA\), равна \(180^\circ — 120^\circ = 60^\circ\).
Поскольку \(AO\) и \(BO\) — биссектрисы углов треугольника \(ABC\), то углы при вершинах \(A\) и \(B\) равны \(2 \cdot \angle OAB\) и \(2 \cdot \angle OBA\) соответственно. Следовательно, сумма углов \(A\) и \(B\) в треугольнике \(ABC\) равна \(2(\angle OAB + \angle OBA) = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\). Так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), угол при вершине \(C\) равен \(180^\circ — 120^\circ = 60^\circ\).
Теперь, зная сторону \(AC = b\), сторону \(BC = a\) и угол при вершине \(C = 60^\circ\), применим теорему косинусов для нахождения стороны \(AB\). Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны напротив угла равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle C\).
Подставим известные значения:
\(AB^2 = b^2 + a^2 — 2ab \cdot \cos 60^\circ\).
Поскольку \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), получаем:
\(AB^2 = b^2 + a^2 — 2ab \cdot \frac{1}{2} = a^2 + b^2 — ab\).
Извлекая корень, находим:
\(AB = \sqrt{a^2 + b^2 — ab}\).
