ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 440 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Периметр одного из двух подобных треугольников на 8 см больше периметра другого треугольника. Найдите периметры данных треугольников, если коэффициент подобия равен \(\frac{1}{3}\).

Дано: `\(\triangle ABC \sim \triangle DEF\), \(k = \frac{1}{3}\), \(P_{ABC} = P_{DEF} + 8\).`
Найти: `\(P_{ABC}\), \(P_{DEF}\).`

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: `\(\frac{P_{DEF}}{P_{ABC}} = \frac{1}{3}\)`.
Из этого следует, что `\(P_{ABC} = 3P_{DEF}\)`.
Подставим это в уравнение `\(P_{ABC} = P_{DEF} + 8\)`:
`\(3P_{DEF} = P_{DEF} + 8\)`
`\(3P_{DEF} — P_{DEF} = 8\)`
`\(2P_{DEF} = 8\)`
`\(P_{DEF} = \frac{8}{2}\)`
`\(P_{DEF} = 4\)` см.
Теперь найдем `\(P_{ABC}\)`:
`\(P_{ABC} = 4 + 8\)`
`\(P_{ABC} = 12\)` см.

Дано, что у нас есть два подобных треугольника, `\(\triangle ABC\)` и `\(\triangle DEF\)`. Под подобием треугольников подразумевается, что их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент подобия `\(k\)` равен `\(\frac{1}{3}\)`. Это означает, что отношение длины любой стороны треугольника `\(\triangle DEF\)` к длине соответствующей стороны треугольника `\(\triangle ABC\)` равно `\(\frac{1}{3}\)`. То есть, `\(\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = \frac{1}{3}\)`.

Также известно, что периметр одного треугольника на 8 см больше периметра другого. Поскольку коэффициент подобия `\(k = \frac{1}{3}\)` меньше единицы, это означает, что `\(\triangle DEF\)` является уменьшенной копией `\(\triangle ABC\)`. Следовательно, периметр `\(\triangle ABC\)` больше периметра `\(\triangle DEF\)` на 8 см. Это можно записать как `\(P_{ABC} = P_{DEF} + 8\)`.

Важным свойством подобных треугольников является то, что отношение их периметров равно коэффициенту подобия. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Так как каждая сторона `\(\triangle DEF\)` в `\(\frac{1}{3}\)` раза меньше соответствующей стороны `\(\triangle ABC\)`, то и сумма всех сторон `\(\triangle DEF\)` будет в `\(\frac{1}{3}\)` раза меньше суммы всех сторон `\(\triangle ABC\)`. Таким образом, мы можем записать отношение периметров как `\(\frac{P_{DEF}}{P_{ABC}} = k\)`, что в нашем случае равно `\(\frac{1}{3}\)`.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (`\(P_{ABC}\)` и `\(P_{DEF}\)`):
1. `\(\frac{P_{DEF}}{P_{ABC}} = \frac{1}{3}\)`
2. `\(P_{ABC} = P_{DEF} + 8\)`

Из первого уравнения мы можем выразить `\(P_{ABC}\)` через `\(P_{DEF}\)` (или наоборот). Умножим обе части первого уравнения на `\(P_{ABC}\)`:
`\(P_{DEF} = \frac{1}{3} P_{ABC}\)`
Или, что удобнее для подстановки, умножим обе части на 3:
`\(3 P_{DEF} = P_{ABC}\)`

Теперь подставим это выражение для `\(P_{ABC}\)` (`\(3 P_{DEF}\)`) во второе уравнение:
`\(3 P_{DEF} = P_{DEF} + 8\)`

Для того чтобы найти значение `\(P_{DEF}\)`, нам нужно собрать все члены, содержащие `\(P_{DEF}\)`, на одной стороне уравнения. Вычтем `\(P_{DEF}\)` из обеих частей уравнения:
`\(3 P_{DEF} — P_{DEF} = 8\)`
`\(2 P_{DEF} = 8\)`

Теперь, чтобы найти `\(P_{DEF}\)`, разделим обе части уравнения на 2:
`\(P_{DEF} = \frac{8}{2}\)`
`\(P_{DEF} = 4\)` см.

После того как мы нашли периметр меньшего треугольника `\(P_{DEF}\)`, мы можем использовать второе исходное уравнение `\(P_{ABC} = P_{DEF} + 8\)` для нахождения периметра большего треугольника `\(P_{ABC}\)`. Подставим найденное значение `\(P_{DEF} = 4\)` в это уравнение:
`\(P_{ABC} = 4 + 8\)`
`\(P_{ABC} = 12\)` см.

Таким образом, периметр меньшего треугольника составляет 4 см, а периметр большего треугольника — 12 см.