ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 441 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На сторонах BC и AD ромба ABCD отметили соответственно точки М и К такие, что BM : MC = KD : AK = 1 : 2. Найдите отрезок MK, если AB = a, \(\angle ABC = 60^\circ\).

Так как ABCD — ромб и \(\angle ABC = 60^\circ\), то \(\triangle ABC\) равносторонний, и \(AC = a\).
Точка O — пересечение диагоналей, поэтому \(AO = OC = \frac{a}{2}\).
Из \(BM : MC = 1 : 2\) и \(BC = a\), получаем \(MC = \frac{2a}{3}\).
Из \(KD : AK = 1 : 2\) и \(AD = a\), получаем \(AK = \frac{2a}{3}\).
Треугольники \(\triangle AOK\) и \(\triangle COM\) равны по стороне и двум прилежащим углам (\(AK = CM\), \(\angle KAO = \angle MCO = 60^\circ\), \(\angle AOK = \angle COM\) как вертикальные).
Следовательно, \(KO = MO\).
В \(\triangle AOK\) по теореме косинусов:
\(KO^2 = AO^2 + AK^2 — 2 \cdot AO \cdot AK \cdot \cos(\angle OAK)\)
\(KO^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{2a}{3}\right)^2 — 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot \cos(60^\circ)\)
\(KO^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{4a^2}{9} — 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot \frac{1}{2}\)
\(KO^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{4a^2}{9} — \frac{a^2}{3}\)
\(KO^2 = \frac{9a^2 + 16a^2 — 12a^2}{36} = \frac{13a^2}{36}\)
\(KO = \frac{a\sqrt{13}}{6}\)
Тогда \(MK = 2 \cdot KO = 2 \cdot \frac{a\sqrt{13}}{6} = \frac{a\sqrt{13}}{3}\).

Дано: ABCD — ромб, \(BM : MC = 1 : 2\), \(KD : AK = 1 : 2\), \(AB = a\), \(\angle ABC = 60^\circ\). Найти: \(MK\).

Поскольку ABCD — ромб, все его стороны равны \(a\). То есть, \(AB = BC = CD = DA = a\).
Угол \(\angle ABC = 60^\circ\). В ромбе сумма соседних углов равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle BAD = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ\).
Диагонали ромба делят его углы пополам. Следовательно, \(\angle DAC = \frac{1}{2} \angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\).
Так как AD параллельно BC (стороны ромба), а AC — секущая, то углы \(\angle DAC\) и \(\angle BCA\) являются накрест лежащими, поэтому \(\angle BCA = \angle DAC = 60^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). У него \(AB = BC = a\) и угол между этими сторонами \(\angle ABC = 60^\circ\). Это означает, что треугольник \(\triangle ABC\) является равносторонним.
Следовательно, длина диагонали \(AC = a\).
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей AC и BD будет O. Тогда \(AO = OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} a\).

Из условия \(BM : MC = 1 : 2\) и \(BC = a\), получаем \(MC = \frac{2}{3} BC = \frac{2}{3} a\).
Из условия \(KD : AK = 1 : 2\) и \(AD = a\), получаем \(AK = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} a\).

Теперь рассмотрим треугольники \(\triangle AOK\) и \(\triangle COM\).
Мы знаем, что \(AK = \frac{2}{3} a\) и \(CM = \frac{2}{3} a\), значит \(AK = CM\).
Угол \(\angle KAO = \angle DAC = 60^\circ\).
Угол \(\angle MCO = \angle BCA = 60^\circ\).
Углы \(\angle AOK\) и \(\angle COM\) являются вертикальными, поэтому они равны.
По признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (УСУ), треугольники \(\triangle AOK\) и \(\triangle COM\) равны.
Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: \(KO = MO\).

Для нахождения длины отрезка \(KO\) воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике \(\triangle AOK\).
Стороны треугольника: \(AO = \frac{a}{2}\), \(AK = \frac{2a}{3}\).
Угол между этими сторонами \(\angle OAK = \angle DAC = 60^\circ\).
По теореме косинусов:
\(KO^2 = AO^2 + AK^2 — 2 \cdot AO \cdot AK \cdot \cos(\angle OAK)\)
\(KO^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{2a}{3}\right)^2 — 2 \cdot \left(\frac{a}{2}\right) \cdot \left(\frac{2a}{3}\right) \cdot \cos(60^\circ)\)
\(KO^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{4a^2}{9} — 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot \frac{1}{2}\)
\(KO^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{4a^2}{9} — \frac{2a^2}{6}\)
\(KO^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{4a^2}{9} — \frac{a^2}{3}\)
Приведем дроби к общему знаменателю 36:
\(KO^2 = \frac{9a^2}{36} + \frac{16a^2}{36} — \frac{12a^2}{36}\)
\(KO^2 = \frac{(9 + 16 — 12)a^2}{36}\)
\(KO^2 = \frac{13a^2}{36}\)
Извлечем квадратный корень:
\(KO = \sqrt{\frac{13a^2}{36}} = \frac{a\sqrt{13}}{6}\)

Так как \(KO = MO\), то длина отрезка \(MK\) равна сумме \(KO\) и \(MO\):
\(MK = KO + MO = 2 \cdot KO = 2 \cdot \frac{a\sqrt{13}}{6} = \frac{a\sqrt{13}}{3}\)

\(\frac{a\sqrt{13}}{3}\)