ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 442 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
С помощью циркуля и линейки постройте точку, координаты которой равны координатам данного вектора \(\vec{a}\) (рис. 103).
Дан некоторый вектор \(\vec{a}\):
Отметим точку C в начале координат;
Построим окружность радиуса AB с центром C;
Построим окружность радиуса AC с центром B;
Отметим точку D на пересечении окружностей:
Для построения точки, координаты которой равны координатам данного вектора \(\vec{a}\), представленного на рисунке как вектор \(\vec{AB}\), необходимо выполнить следующие геометрические построения с использованием циркуля и линейки:
Сначала определим цель построения. Мы хотим найти такую точку D, что вектор \(\vec{CD}\) будет равен вектору \(\vec{AB}\), при условии, что точка C находится в начале координат. Это означает, что если \(\vec{AB} = (x_B — x_A, y_B — y_A)\), то координаты точки D будут \((x_B — x_A, y_B — y_A)\). По сути, мы строим четвертую вершину параллелограмма CADB, где C — начало координат.
Первый шаг: Отметьте точку C в начале координат. На координатной плоскости, где заданы точки A и B, найдите точку с координатами \((0,0)\) и обозначьте ее как C. Эта точка будет служить началом для нашего нового вектора, который будет равен \(\vec{AB}\).
Второй шаг: Постройте окружность радиуса AB с центром в точке C. Используя циркуль, измерьте расстояние между точками A и B. Для этого установите ножки циркуля на точки A и B. Затем, не меняя раствора циркуля, перенесите его и поставьте острие в точку C. Проведите окружность. Все точки на этой окружности находятся на расстоянии, равном длине отрезка AB, от точки C. Обозначим радиус этой окружности как \(R_1 = AB\).
Третий шаг: Постройте окружность радиуса AC с центром в точке B. Снова используя циркуль, измерьте расстояние между точками A и C. Установите ножки циркуля на точки A и C. Затем, не меняя раствора циркуля, перенесите его и поставьте острие в точку B. Проведите вторую окружность. Все точки на этой окружности находятся на расстоянии, равном длине отрезка AC, от точки B. Обозначим радиус этой окружности как \(R_2 = AC\).
Четвертый шаг: Отметьте точку D на пересечении окружностей. Две построенные окружности (окружность с центром C и радиусом AB, и окружность с центром B и радиусом AC) пересекутся в двух точках. Одна из этих точек будет искомой точкой D. Выберите ту точку пересечения, которая соответствует направлению вектора \(\vec{AB}\) относительно точки C. На рисунке это нижняя правая точка пересечения.
Обоснование правильности построения: Построенный таким образом четырехугольник CADB является параллелограммом. Это следует из того, что по построению его противоположные стороны попарно равны: \(CD = AB\) (радиус первой окружности) и \(BD = AC\) (радиус второй окружности). В параллелограмме векторы, соединяющие противоположные вершины, равны. Следовательно, вектор \(\vec{CD}\) равен вектору \(\vec{AB}\). Поскольку точка C находится в начале координат \((0,0)\), координаты вектора \(\vec{CD}\) численно равны координатам точки D. Таким образом, координаты точки D будут точно такими же, как компоненты вектора \(\vec{AB}\), то есть \(D = (x_B — x_A, y_B — y_A)\).
