ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 448 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Даны точки \(A(3; -7)\), \(B(4; -5)\), \(C(5; 8)\). Найдите координаты точки D такой, что \(\vec{AB} = \vec{CD}\).

Краткий ответ:

Координаты вектора \(\vec{AB}\) равны \((4-3; -5-(-7)) = (1; 2)\). Пусть координаты точки D будут \((x; y)\). Тогда координаты вектора \(\vec{CD}\) равны \((x-5; y-8)\). Так как \(\vec{AB} = \vec{CD}\), то \(1 = x-5\) и \(2 = y-8\). Из первого уравнения находим \(x = 1+5 = 6\). Из второго уравнения находим \(y = 2+8 = 10\). Таким образом, координаты точки D равны \((6; 10)\).

Подробный ответ:

Для того чтобы найти координаты точки D, необходимо использовать свойство равенства векторов. Если два вектора равны, то их соответствующие координаты должны быть равны.

Сначала определим координаты вектора \(\vec{AB}\). Координаты вектора, заданного двумя точками, находятся путем вычитания координат начальной точки из координат конечной точки. Даны точки \(A(3; -7)\) и \(B(4; -5)\). Координата x вектора \(\vec{AB}\) вычисляется как разность x-координат точки B и точки A, то есть \(x_{\vec{AB}} = 4 — 3 = 1\). Координата y вектора \(\vec{AB}\) вычисляется как разность y-координат точки B и точки A, то есть \(y_{\vec{AB}} = -5 — (-7) = -5 + 7 = 2\). Таким образом, вектор \(\vec{AB}\) имеет координаты \((1; 2)\).

Далее, пусть координаты искомой точки D будут \((x; y)\). Дана точка \(C(5; 8)\). Аналогично, определим координаты вектора \(\vec{CD}\). Координата x вектора \(\vec{CD}\) вычисляется как разность x-координат точки D и точки C, то есть \(x_{\vec{CD}} = x — 5\). Координата y вектора \(\vec{CD}\) вычисляется как разность y-координат точки D и точки C, то есть \(y_{\vec{CD}} = y — 8\). Таким образом, вектор \(\vec{CD}\) имеет координаты \((x — 5; y — 8)\).

По условию задачи, векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) равны, то есть \(\vec{AB} = \vec{CD}\). Это означает, что их соответствующие координаты должны быть равны. Приравниваем x-координаты: \(1 = x — 5\). Приравниваем y-координаты: \(2 = y — 8\).

Теперь решим полученную систему из двух простых уравнений относительно \(x\) и \(y\). Из первого уравнения \(1 = x — 5\) выразим \(x\). Для этого прибавим 5 к обеим частям уравнения: \(x = 1 + 5\), что дает \(x = 6\). Из второго уравнения \(2 = y — 8\) выразим \(y\). Для этого прибавим 8 к обеим частям уравнения: \(y = 2 + 8\), что дает \(y = 10\).

Таким образом, координаты точки D равны \((6; 10)\).

Оцени решение