ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 45 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Две стороны треугольника, угол между которыми равен \(60^\circ\), относятся как 5 : 8, а третья сторона равна 21 см. Найдите неизвестные стороны треугольника.
Дано: угол \( \angle B = 60^\circ \), отношение сторон \( AB : BC = 5 : 8 \), сторона \( AC = 21 \) см. Найти \( AB \) и \( BC \).
Пусть \( BC = x \), тогда \( AB = \frac{5}{8} x \).
По теореме косинусов:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B \)
Подставим:
\( 21^2 = \left(\frac{5}{8} x\right)^2 + x^2 — 2 \cdot \frac{5}{8} x \cdot x \cdot \cos 60^\circ \)
Вычислим:
\( 441 = \frac{25}{64} x^2 + x^2 — 2 \cdot \frac{5}{8} x^2 \cdot \frac{1}{2} \)
\( 441 = \frac{25}{64} x^2 + x^2 — \frac{5}{8} x^2 \)
Приведём к общему знаменателю:
\( 441 = x^2 \left(\frac{25}{64} + 1 — \frac{5}{8}\right) \)
\( 441 = x^2 \left(\frac{25}{64} + \frac{64}{64} — \frac{40}{64}\right) \)
\( 441 = x^2 \cdot \frac{49}{64} \)
\( x^2 = 441 \cdot \frac{64}{49} = 576 \)
\( x = \sqrt{576} = 24 \)
Тогда
\( AB = \frac{5}{8} \cdot 24 = 15 \)
Ответ: \( AB = 15 \) см, \( BC = 24 \) см.
В задаче дан треугольник \( ABC \) с углом \( \angle B = 60^\circ \). Известно, что отношение сторон \( AB : BC = 5 : 8 \), и длина стороны \( AC = 21 \) см. Нужно найти длины сторон \( AB \) и \( BC \).
Для начала обозначим неизвестную сторону \( BC \) через \( x \). Тогда, учитывая отношение сторон, \( AB \) можно выразить как \( \frac{5}{8} x \). Это значит, что если \( BC \) равна \( x \), то \( AB \) будет равна \( \frac{5}{8} \) от \( x \). Такое обозначение упрощает дальнейшие вычисления, так как теперь все стороны выражены через одну переменную.
Далее применим теорему косинусов, которая связывает стороны треугольника и угол между ними. Теорема гласит, что квадрат стороны напротив угла равен сумме квадратов других двух сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае это выражается формулой: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B \). Подставим в неё наши переменные и известные значения: \( 21^2 = \left(\frac{5}{8} x\right)^2 + x^2 — 2 \cdot \frac{5}{8} x \cdot x \cdot \cos 60^\circ \).
Вычислим каждое слагаемое. Квадрат \( AC \) равен \( 441 \). Квадрат \( AB \) равен \( \left(\frac{5}{8} x\right)^2 = \frac{25}{64} x^2 \). Квадрат \( BC \) равен \( x^2 \). Косинус угла \( 60^\circ \) равен \( \frac{1}{2} \). Умножая, получаем \( 2 \cdot \frac{5}{8} x \cdot x \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{8} x^2 \).
Подставляем всё в уравнение: \( 441 = \frac{25}{64} x^2 + x^2 — \frac{5}{8} x^2 \). Чтобы сложить и вычесть дроби, приведём их к общему знаменателю 64: \( \frac{25}{64} x^2 + \frac{64}{64} x^2 — \frac{40}{64} x^2 = \frac{49}{64} x^2 \). Таким образом, уравнение принимает вид \( 441 = \frac{49}{64} x^2 \).
Чтобы найти \( x^2 \), умножим обе части уравнения на \( \frac{64}{49} \): \( x^2 = 441 \cdot \frac{64}{49} \). Заметим, что \( 441 = 21^2 \), а \( \frac{64}{49} = \left(\frac{8}{7}\right)^2 \). Значит, \( x^2 = 21^2 \cdot \left(\frac{8}{7}\right)^2 = \left(21 \cdot \frac{8}{7}\right)^2 = 24^2 \). Отсюда \( x = 24 \).
Теперь найдём \( AB \): \( AB = \frac{5}{8} \cdot 24 = 15 \). Получаем, что стороны треугольника равны \( AB = 15 \) см и \( BC = 24 \) см.
