ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 450 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Даны точки \(A(3; -4)\), \(B(-2; 7)\), \(C(-4; 16)\), \(D(1; 5)\). Докажите, что \(\vec{CB} = \vec{DA}\).
Координаты точек: \(A(3; -4)\), \(B(-2; 7)\), \(C(-4; 16)\), \(D(1; 5)\).
1) Координаты вектора \(\vec{CB}\):
\(x = x_B — x_C = -2 — (-4) = -2 + 4 = 2\)
\(y = y_B — y_C = 7 — 16 = -9\)
Вектор \(\vec{CB} = (2; -9)\).
2) Координаты вектора \(\vec{DA}\):
\(x = x_A — x_D = 3 — 1 = 2\)
\(y = y_A — y_D = -4 — 5 = -9\)
Вектор \(\vec{DA} = (2; -9)\).
Так как \(\vec{CB} = (2; -9)\) и \(\vec{DA} = (2; -9)\), то \(\vec{CB} = \vec{DA}\).
Даны четыре точки с их координатами в декартовой системе: точка \(A\) имеет координаты \((3; -4)\), точка \(B\) имеет координаты \((-2; 7)\), точка \(C\) имеет координаты \((-4; 16)\), и точка \(D\) имеет координаты \((1; 5)\). Наша задача состоит в том, чтобы доказать, что вектор \(\vec{CB}\) равен вектору \(\vec{DA}\).
Для того чтобы найти координаты вектора, необходимо вычесть координаты начальной точки из координат конечной точки. Вектор \(\vec{CB}\) начинается в точке \(C\) и заканчивается в точке \(B\). Следовательно, его горизонтальная компонента (координата по оси \(x\)) будет равна разности \(x\)-координаты точки \(B\) и \(x\)-координаты точки \(C\), а его вертикальная компонента (координата по оси \(y\)) будет равна разности \(y\)-координаты точки \(B\) и \(y\)-координаты точки \(C\).
Вычислим горизонтальную компоненту вектора \(\vec{CB}\): \(x_{\vec{CB}} = x_B — x_C\). Подставляя значения, получаем \(x_{\vec{CB}} = -2 — (-4)\). Упрощая это выражение, минус на минус дает плюс, поэтому \(x_{\vec{CB}} = -2 + 4\), что равно \(2\).
Теперь вычислим вертикальную компоненту вектора \(\vec{CB}\): \(y_{\vec{CB}} = y_B — y_C\). Подставляя значения, получаем \(y_{\vec{CB}} = 7 — 16\). Выполняя вычитание, находим, что \(y_{\vec{CB}} = -9\). Таким образом, вектор \(\vec{CB}\) имеет координаты \((2; -9)\).
Далее, найдем координаты вектора \(\vec{DA}\). Этот вектор начинается в точке \(D\) и заканчивается в точке \(A\). Аналогично предыдущему шагу, его горизонтальная компонента будет равна разности \(x\)-координаты точки \(A\) и \(x\)-координаты точки \(D\), а его вертикальная компонента будет равна разности \(y\)-координаты точки \(A\) и \(y\)-координаты точки \(D\).
Вычислим горизонтальную компоненту вектора \(\vec{DA}\): \(x_{\vec{DA}} = x_A — x_D\). Подставляя значения, получаем \(x_{\vec{DA}} = 3 — 1\), что равно \(2\).
Теперь вычислим вертикальную компоненту вектора \(\vec{DA}\): \(y_{\vec{DA}} = y_A — y_D\). Подставляя значения, получаем \(y_{\vec{DA}} = -4 — 5\). Выполняя вычитание, находим, что \(y_{\vec{DA}} = -9\). Таким образом, вектор \(\vec{DA}\) имеет координаты \((2; -9)\).
Для того чтобы два вектора были равны, их соответствующие компоненты должны быть равны. Мы получили, что горизонтальная компонента вектора \(\vec{CB}\) равна \(2\), и горизонтальная компонента вектора \(\vec{DA}\) также равна \(2\). Вертикальная компонента вектора \(\vec{CB}\) равна \(-9\), и вертикальная компонента вектора \(\vec{DA}\) также равна \(-9\). Поскольку обе компоненты вектора \(\vec{CB}\) совпадают с соответствующими компонентами вектора \(\vec{DA}\), мы можем заключить, что векторы \(\vec{CB}\) и \(\vec{DA}\) равны. То есть, \(\vec{CB} = \vec{DA}\).
