ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 451 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках \(A(1; -5)\), \(B(2; 3)\), \(C(-3; 1)\), \(D(-4; -7)\) является параллелограммом.
Даны координаты точек: \(A(1; -5)\), \(B(2; 3)\), \(C(-3; 1)\), \(D(-4; -7)\).
1) Координаты вектора \(\vec{AB}\):
\(x = 2 — 1 = 1\)
\(y = 3 — (-5) = 3 + 5 = 8\)
2) Координаты вектора \(\vec{DC}\):
\(x = -3 — (-4) = -3 + 4 = 1\)
\(y = 1 — (-7) = 1 + 7 = 8\)
3) В четырехугольнике ABCD:
Так как \(\vec{AB} = \vec{DC}\), то AB = DC и AB \( \parallel \) DC.
Следовательно, ABCD — параллелограмм.
Что и требовалось доказать.
Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, необходимо показать, что одна пара его противоположных сторон параллельна и равна по длине. Это можно сделать, вычислив координаты векторов, соответствующих этим сторонам, и убедившись, что эти векторы равны. Если два вектора равны, это означает, что они имеют одинаковую длину и направлены в одну и ту же сторону, что соответствует условию параллельности и равенства длин соответствующих отрезков.
Даны координаты вершин четырёхугольника: точка A имеет координаты \((1; -5)\), точка B имеет координаты \((2; 3)\), точка C имеет координаты \((-3; 1)\), и точка D имеет координаты \((-4; -7)\).
Первым шагом вычислим координаты вектора \(\vec{AB}\). Координаты вектора, идущего из точки \(P_1(x_1; y_1)\) в точку \(P_2(x_2; y_2)\), определяются как \((x_2 — x_1; y_2 — y_1)\). Применяя это правило к вектору \(\vec{AB}\), где \(A(1; -5)\) и \(B(2; 3)\):
Координата по оси x для \(\vec{AB}\) будет \(x_B — x_A = 2 — 1 = 1\).
Координата по оси y для \(\vec{AB}\) будет \(y_B — y_A = 3 — (-5) = 3 + 5 = 8\).
Таким образом, вектор \(\vec{AB}\) имеет координаты \((1; 8)\).
Далее вычислим координаты вектора \(\vec{DC}\). Этот вектор соединяет точку D с точкой C, являясь противоположной стороной к AB в четырёхугольнике ABCD. Применяя то же правило к вектору \(\vec{DC}\), где \(D(-4; -7)\) и \(C(-3; 1)\):
Координата по оси x для \(\vec{DC}\) будет \(x_C — x_D = -3 — (-4) = -3 + 4 = 1\).
Координата по оси y для \(\vec{DC}\) будет \(y_C — y_D = 1 — (-7) = 1 + 7 = 8\).
Таким образом, вектор \(\vec{DC}\) также имеет координаты \((1; 8)\).
Теперь сравним полученные векторы. Мы обнаружили, что вектор \(\vec{AB}\) имеет координаты \((1; 8)\), и вектор \(\vec{DC}\) также имеет координаты \((1; 8)\). Это означает, что \(\vec{AB} = \vec{DC}\). Равенство двух векторов означает, что они не только имеют одинаковую длину, но и направлены в одном и том же направлении. Следовательно, сторона AB параллельна стороне DC, и их длины равны.
По определению, четырёхугольник является параллелограммом, если у него есть хотя бы одна пара противоположных сторон, которые одновременно параллельны и равны по длине. Поскольку мы доказали, что стороны AB и DC четырёхугольника ABCD удовлетворяют этому условию, мы можем заключить, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом. Что и требовалось доказать.
