ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 453 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны точки \(A(1; -4)\), \(B(-2; 5)\), \(C(1 + a; -4 + b)\), \(D(-2 + a; 5 + b)\). Докажите, что \(|\vec{AC}| = |\vec{BD}|\).

Даны координаты точек: \(A(1; -4)\), \(C(1 + a; -4 + b)\); \(B(-2; 5)\), \(D(-2 + a; 5 + b)\).

1) Модуль вектора \(\vec{AC}\):
\(x = (1 + a) — 1 = a\)
\(y = (-4 + b) — (-4) = b\)
\(|\vec{AC}| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

2) Модуль вектора \(\vec{BD}\):
\(x = (-2 + a) — (-2) = a\)
\(y = (5 + b) — 5 = b\)
\(|\vec{BD}| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

Так как \(|\vec{AC}| = \sqrt{a^2 + b^2}\) и \(|\vec{BD}| = \sqrt{a^2 + b^2}\), то \(|\vec{AC}| = |\vec{BD}|\). Что и требовалось доказать.

Для того чтобы доказать равенство длин векторов \(|\vec{AC}|\) и \(|\vec{BD}|\), мы последовательно вычислим координаты каждого из векторов, а затем найдем их модули, используя формулу для длины вектора по его координатам.

Сначала определим координаты вектора \(\vec{AC}\). Вектор, соединяющий две точки \(P_1(x_1; y_1)\) и \(P_2(x_2; y_2)\), имеет координаты \((x_2 — x_1; y_2 — y_1)\). Для вектора \(\vec{AC}\) начальная точка \(A\) имеет координаты \((1; -4)\), а конечная точка \(C\) имеет координаты \((1 + a; -4 + b)\). Вычислим разность соответствующих координат:
Координата по оси x для \(\vec{AC}\) будет \(x_{AC} = (1 + a) — 1\). Упрощая это выражение, получаем \(x_{AC} = a\).
Координата по оси y для \(\vec{AC}\) будет \(y_{AC} = (-4 + b) — (-4)\). Упрощая это выражение, получаем \(y_{AC} = -4 + b + 4 = b\).
Таким образом, вектор \(\vec{AC}\) имеет координаты \((a; b)\).

Далее найдем модуль (длину) вектора \(\vec{AC}\). Модуль вектора с координатами \((x; y)\) вычисляется по формуле \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\). Применяя эту формулу к вектору \(\vec{AC}(a; b)\), получаем:
\(|\vec{AC}| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Это значение представляет собой длину отрезка \(AC\).

Теперь перейдем к определению координат вектора \(\vec{BD}\). Начальная точка \(B\) имеет координаты \((-2; 5)\), а конечная точка \(D\) имеет координаты \((-2 + a; 5 + b)\). Аналогично, вычислим разность соответствующих координат:
Координата по оси x для \(\vec{BD}\) будет \(x_{BD} = (-2 + a) — (-2)\). Упрощая это выражение, получаем \(x_{BD} = -2 + a + 2 = a\).
Координата по оси y для \(\vec{BD}\) будет \(y_{BD} = (5 + b) — 5\). Упрощая это выражение, получаем \(y_{BD} = b\).
Таким образом, вектор \(\vec{BD}\) имеет координаты \((a; b)\).

Затем найдем модуль (длину) вектора \(\vec{BD}\), используя ту же формулу \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\). Применяя ее к вектору \(\vec{BD}(a; b)\), получаем:
\(|\vec{BD}| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Это значение представляет собой длину отрезка \(BD\).

Сравнивая полученные выражения для модулей векторов, мы видим, что \(|\vec{AC}| = \sqrt{a^2 + b^2}\) и \(|\vec{BD}| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Поскольку оба модуля равны одному и тому же выражению, можно сделать вывод, что \(|\vec{AC}| = |\vec{BD}|\). Это завершает доказательство.