ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 455 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях y модуль вектора \(\vec{b}(12; y)\) равен 13?

Модуль вектора \(\vec{b}(x; y)\) вычисляется по формуле \(\sqrt{x^2 + y^2}\).
Дано, что вектор \(\vec{b}(12; y)\) и его модуль равен 13.
Подставляем значения в формулу: \(\sqrt{12^2 + y^2} = 13\).
Возводим обе части уравнения в квадрат: \(12^2 + y^2 = 13^2\).
Вычисляем квадраты: \(144 + y^2 = 169\).
Вычитаем 144 из обеих частей: \(y^2 = 169 — 144\).
Получаем: \(y^2 = 25\).
Извлекаем квадратный корень: \(y = \pm\sqrt{25}\).
Следовательно, \(y = \pm 5\).
Ответ: \(-5; 5\).

Для того чтобы определить значения \(y\), при которых модуль заданного вектора \(\vec{b}(12; y)\) будет равен 13, необходимо использовать фундаментальное определение модуля вектора в двумерном пространстве. Модуль вектора, обозначаемый как \(|\vec{v}|\), для вектора с координатами \((x; y)\) вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат. Математически это выражается формулой \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\).

В нашем конкретном случае, вектор \(\vec{b}\) имеет горизонтальную координату \(x = 12\) и вертикальную координату \(y\), которую нам предстоит найти. Известно, что модуль этого вектора \(|\vec{b}|\) равен 13. Подставляя эти известные значения в вышеупомянутую формулу для модуля вектора, мы получаем следующее уравнение: \(13 = \sqrt{12^2 + y^2}\).

Для того чтобы избавиться от квадратного корня и упростить уравнение, следующим логическим шагом является возведение обеих частей уравнения в квадрат. Это действие сохраняет равенство и позволяет нам работать с более простой алгебраической формой. Возведя в квадрат левую часть, мы получаем \(13^2\), что равно 169. Возведя в квадрат правую часть, мы устраняем квадратный корень, оставляя выражение \(12^2 + y^2\). Таким образом, уравнение преобразуется в \(169 = 12^2 + y^2\).

Далее, необходимо вычислить значение \(12^2\). Двенадцать в квадрате равно 144. Подставляя это значение обратно в уравнение, получаем: \(169 = 144 + y^2\).

Теперь наша задача — изолировать член \(y^2\) на одной стороне уравнения. Для этого мы вычтем 144 из обеих частей уравнения. Это действие позволяет нам перенести числовую константу на левую сторону. Выполняя вычитание, мы получаем: \(y^2 = 169 — 144\).

Произведя арифметическую операцию вычитания, находим, что \(169 — 144 = 25\). Следовательно, уравнение упрощается до \(y^2 = 25\).

Последний шаг для нахождения значения \(y\) — это извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения. Важно помнить, что при извлечении квадратного корня из положительного числа всегда существует два возможных решения: одно положительное и одно отрицательное. В данном случае, квадратный корень из 25 равен 5. Таким образом, \(y\) может быть как \(+5\), так и \(-5\). Это записывается как \(y = \pm\sqrt{25}\), что приводит к \(y = \pm 5\).

Таким образом, существуют два значения \(y\), при которых модуль вектора \(\vec{b}(12; y)\) равен 13: это \(y = 5\) и \(y = -5\).

Ответ: \(-5; 5\).